Pour s'asseurer si on a bien extrait une racine, il est

bon de l'élever à sa puissance: car s'il vient la quantité proposée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a + 26 pour la racine quarrée de gaa + 12ab+466. Or si l'on multiplie 3a + 2b par 3a+2b, l'on trouvera gaa + 12ab+4bb qui est la quan. tité proposée, c'est pourquoi l'extraction a été bien

faite.

REDUCTION

Des quantitez irrationelles à leurs plus simples expressions. 65. I 1 y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée: mais il arrive souvent que ces quantitez sont le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le figne radical la racine de cette puissance, & l'autre quantité sous le figne radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par consequent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le figne radical en cette forte Vaab + aac : mais on voit aisément que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par b+c, ou que √aab + aac Vaa x√b+c: ex√b+c=a√b+c;

or Vaa

= a;

donc Vaan+aac=ax

& c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou phûtôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationelle à sa plus fimple expression, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut, soit que les quantitez soient complexes ou incomplexes.

Lorsqu'on ne voit pas par la seule inspection des termes, si une quantité irrationelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expression plus fimple, on l'examinera en cherchant (no. 56 ou 57) tous les diviseurs qui la peuvent exactement diviser; & s'il s'en trouve quelqu'un qui soit une puissance du même nom que la racine qu'on

e

veut extraire, la quantité proposée se pourra réduire à une plus fimple expression: car elle pourra être regar dée comme le produit de cette puissance, & du quotient qui vient en la divisant par la même puissance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a3-3aab 3abb — b', en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, , on trouvera que aa 2ab+bb, qui est un quarré, en est un, & qu'en divisant as - заав+3abb - - 6 pan

aa

- 2ab + bb, il vient au quotient a - b ; c'est pour

quoiva-zaab+3abb-b3√aa-2ab+bbx√a-b:

orvaa-2ab+bb=a-b;donc √a3-3aab+3abb-b3

Lorsqu'on trouve plusieurs diviseurs qui sont des puif sances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne fe fervira que du plus grand.

66. On ajoute, on soustrait, on multiplie, & on divise les quantitez irrationelles comme les rationelles ; & ces 4. operations se font de la même maniere pour les unes & pour les autres: mais pour une plus grande facilité il les faut auparavant réduire à leurs expressions les plus fimples; & comme les quantitez irrationelles ne diffe. rent des rationelles que par le signe radical qui caracte. rise de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur feroient pas pour cela semblables; de forte que les quantitez qui font hors du figne radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui sont sous le signe radical.

Il faut neanmoins remarquer que les quantitez irrationelles sont semblables, lorsque celles qui sont sous les signes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorsque celles qui font hors des signes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different

que par leurs coéficiens. Ainsi zava & zava; zava+b; &ava+b;

34

Vax-xx, & Vax - xx

b

১

font des

quantitez irrationelles semblables. On suppose que le signe radical foit le même, ce qui arrive toujours dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

ADDITION

Des quantitez irrationelles.

67.0 N les écrira de suite, ou au-dessous les unes des autres avec les fignes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles feront semblables, on en fera (no.11) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationelles. Ainsi pour ajouter Lavb avec zavb, l'on écrira 2a√b + 3avb, qui se réduit à savb. Pour ajouter zavb avec 20√b, l'on écrira za√b+ 2016, & il eft indifferent de laisser ces quantitez en cet état, ou de les écrire en cette forte 3a + 2016. Pour ajouter avax - xx avec blax - xx, l'on écrira avax

-xx.

ax XX

+ b√ax - xx, ou a + b Vax Pour ajouter zavb avec 2cvd, l'on écrira zavb + 2cvd qui ne peut point avoir d'autre expreffion.

68.

SouSTRACTION

Des quantitez irrationelles.

n les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites ; & lorsqu'elles feront semblables. on en fera (no. 11) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi pour soustraire 3avb de savb, l'on écrira savb - zavb qui se réduit à 2a√b. Pour soustraire za√26 de sb√26, l'on écrira 56/26 -34√26, ou5b-3a√26. Pour soustraire - 2bax 2b√ax-xx - xx de zbVax - xx, l'on écrira 3b√ax-xx + 2 qui se réduit à sbvax-xx. Pour soustraire 2cVd de zavb l'on écrira zavb - 2cvd, qui ne peut avoir d'autre expref

2bVax-xx,

fion.

৭

MULTIPLICATION

Des quantitez irrationnelles.

69. Si les quantitez que l'on veut multiplier font incomplexes, l'on multiplira la partie rationelle par la rationelle; & la partie irrationelle par l'irrationelle, & l'on écrira le produit des parties rationelles devant le signe radical & le produit des irrationelles aprés, & l'on réduira le produit total à fon expression la plus fimple. Ainsi avbx c√b=ac√bb: mais √bb = b; donc ac√bb=abc ; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationelles sont semblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationelles par ce qui se trouve sous le signe radical. De même avb × √c, ou avb x IVc (car on prend l'unité pour partie rationelle,, lorsqu'il n'y en a point d'autre) = a√bc; 2a√b x 36, ou 2a√b x 36√1 = 6ab√b; 2a√bc × b√ab=2ab√abbc = 2abb√ac ; 2a√3bc × zb√6ab=6ab√18abbc = 18abb√2ac;

3

3

3

3

a√26 x 26√3c = 2a6v6be. Vab x Vab = Vaabb; zavab x

3

3

3bvaa=6abvab

3

=6aab√b. Il en est ainsi des autres..

70. Si les quantitez que l'on veut multiplier font incomplexes, on multipliera tous les termes de l'une par chacun de ceux de l'autre en suivant les regles des quantitez incomplexes, & la Réduction des produits particuliers érant faite, l'on aura le produit total. Ainfi

Vaa+bbx√aa+bbaa+bb; √aa - bbx-Vaa-bb

=

aa+bb;

zavaa bb x b√aa+bb2a2b+2ab'.

Ceci est évident; car lorsque la même quantité se trouve sous le signe radical ✓, en ôtant le signe radical, cette quantité se trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on

peut encore prouver en cette forte: Vaa bb x Vaa+bb

=aa+bb 2 xaa+662=(n°. 34.) aa+bb 2

I

X2

Pour multiplier Va+b par Va-6, on multipliera a+b para-b, comme si c'étoit des quantitez rationelles, & l'on aura Vaa — bb. De même a + Vabxb= ab+babia+Vab x√bc = a√bc+√abbc=a√bc+bVac; 3aVbc-26Vac x 2cVab=6ac√abbc-4bcVaabc=6ab Vac -4abc√bc. Voici des Exemples plus composez.

par

a+Vaa-bb multiplié.

a+Vaa-bb

an+Vaa-bb

- accvaa -yy-bc4a+ - aaxx- aayy+xxyy

Prod.abcc+bbivaa - xx-accaa-yy

(-bcvat-aaxx-aayy+xxyy