: DIVISION Des quantitez irrationelles. 71.0 N écrira le dividende au-dessous du diviseur en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le Quotient de la division. Mais lorsque l'on s'appercevra que le dividende sera le produit du diviseur par une autre quantité, ce qui est aise dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour le Quotient. Et dans les quantitez incomplexes, lorsqu'on n'apercevera pas le Quotient, on examinera (n°. 46.) fi la division se peut faire; & fi elle se fait, l'on aura un Quotient sans fraction: mais fi elle ne se fait point, on se con. tentera de la division indiquée. Ainfi Vab 12acV6bc = 3aV30; Vaa - xx acVbc 6; ab = Va Va-x: car a+ x xa -x=aa - xx. Il en est ainsi des autres. Il y a d'autres Réductions pour les divisions indiquées qu'on trouvera ailleurs ; & tout ce que nous allons dire des raports, & des fractions, se doit aussi entendre de ces fortes de divisions, soit qu'elles soient rationelles, ou irrationelles. : Des Raifons, ou Raports, des Fractions, des 11. DEFINITIONS. AISON, Ou Raport est la comparaison de deux nombres, deux lignes, deux surfaces, deux corps, deux espaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux vitesses d'un même, ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c. Or comparer les grandeurs, c'est operer fur les grandeurs ; & comme l'on ne peut operer sur les grandeurs qu'en les ajoutant, soustrayant, multipliant, divisant, & en en extrayant les racines; il faut necessairement que leur comparaison se fasse par quelques-unes de ces ope rations. Mais parceque l'Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi consiste précisément la comparaison des grandeurs, & que l'extraction des racines n'agit que fur une seule; & qu'au contraire la Soustraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excés de l'une pardessus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Division détermine combien de fois une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre; ou, ce qui est la même chose, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre, ou en marque l'égalité; il suit qu'il n'y a que la Soustraction & la Divifion qui puissent servirà comparer les grandeurs. 1. La comparaison de deux grandeurs par la Soustraction; ou, ce qui est la même chose, la Soustraction elle même, est nommée raison ou raport arithmetique, Ainsi : L + 12-4;a-b, ou ba, &c, font des raisons ou des raports arithmetiques. 2. La comparaifon de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui est la même chose, la Division elle - même est appellée raison, ou raport geometrique. Ainfi,ou; b 4 ou , &c. font des raisons ou des raports geomer. a 12 On prend ici la Soustraction indiquée pour la Soustra ction même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la composent; & l'on prend de même la Divifion indiquée pour la Divifion même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment. On appellera dans la suite Réduction, le résultat de ces deux Regles, ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les composent. COROLLAIRE I. 3.I 1 est clair que les raisons ou raports tant arithmeti. ques que geographiques, sont égaux lorsque leurs Réductions sont égales. Ainfi 12-4=16-8, parceque 12 -4=8,816-8= 8. De même = 3, 12 = 9 3 , parceque & = 3. Par la même raison, fi+=f, & 3 12 4 C =f; l'on aura ÷=÷ 4. Mais les Réductions, ou les Quotiens des divisions, ou des raports geometriques, font toujours égaux, lorfque les dividendes contiennent, ou sont contenues de même maniere dans les diviseurs. C'est pourquoi lorsque une grandeur a contiendra, ou sera contenue dans une autre grandeur b, comme une troisieme a contient ou est contenue dans une quatrième d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports geometriques égaux, C = COROLLAIRE II, COROLLAIRE II. 5. IL est de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que geometriques, font inégaux, lorsque leurs Réductions sont inégales, & que le plus grand eft celui dont la Réduction est la plus grande. Ainsi 12-4> 4. De même 6: car 12 4 = =3, & 8, & 10-6 8 =2, = 6. Le premier terme d'un raport arithmetique, & le terme superieur d'un raport geometrique, sont nommez antecedens ; le second d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport geometrique, sont nommez con fequens. Ainfi dans les raports a-b, & b aest l'an tecedent, & b le consequent : mais comme les raisons ou les raports geometriques ne font autre chose que des Divifions indiquées, & que ces Divisions font, à proprement parler, des fractions; il suit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, division, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la fuite des uns, se doit aussi entendre des autres. On remarquera seulement que pour parler comme les autres, lorsqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent; lorsqu'il s'agira de divisions, on les apellera dividende & diviseur ; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur. 7. Lorsque l'antecedent d'une raison est égale à son consequent, on l'appelle raison d'égalité; & lorsque l'un furpasse l'autre, on l'appelle raison d'inégalité. 8. Lorsque l'antecedent d'un raport geometrique, contient plusieurs fois exactement fon consequent, il est nommé multiple de ce consequent, & lorsque l'antecedent est contenu plusieurs fois exactement dans son consequent, il est nommé foûmultiple du même consequent. 9. De tels raports tirent leur dénomination du nom. bre de fois que l'antecedent contient le consequent, ou f y eft contenu. De forte que si l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. fon confequent, le raport sera nommé double, triple, quadruple, &c. & fi l'antecedent est contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le consequent, le raport sera nommé foúdouble, foûtriple, foùquadruple, &c. Ainsi est un raport triple, & est un raport foûtriple, 4 12 10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lesquelles se trouve le figne d'égalité, ainsi a=b; ax - xx =yy; x a font des équations. C 11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du signe d'égalité sont nommées membres de l'équation; celle qui le precede eft nommée le premier membre, & celle qui le suit, le fecond. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation sont les exprefsions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales. COROLLAIRE. 12. IL est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou geometriques, peuvent toujours former une équation. Ainsi si a furpasse, ou est surpaffée par b, de la même quantité que à surpasse ou est surpaffée par d, l'on aura toujours a - b =c-d, ou b -ad- c. De même fi a contient ou est contenue dans b, comme a contient ou est contenue dans d, l'on aura toujours a ou on 13. Mais si au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou geometriques, arange leurs quatres termes de suite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports foit le premier, son consequent, le second; l'antecedent de l'autre raport, le troifiéme, & fon consequent le quatrième, en séparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de |