chaque raport par un seul point, en cette forte a. b :: c. d,

(

en supposant que a-bc-d, ou ÷=÷);onappellera proportion, ou analogie cette disposition des quatres termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'est autre chose que l'égalité de deux raports arangez autrement qu'en équation. Si les raports sont arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique ; s'ils font geometriques, on la nommera proportion geometrique.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a.b::c.d; on dira, si elle est arithmetique, a furpafse b, ou eft furpassée par b,comme e surpasse d, ou est surpaflée par d, & fi elle est geometrique, on dira a contient b,ou eft contenue dans b, comme c contient d, ou est contenue dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion soit arithmetique, ou geometrique, on dit a est à b, comme cest à d, ou comme a est à b, ainsi c est à d, en observant neanmoins que le mot eft fignifie furpasse, ou eft furpasssé dans la proportion arithmetique; & que dans la geometrique, il signifie contient ou eft contenu.

L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que geometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete est celle dont les quatre termes font differens, comme celle-ci a . b :: c. d.

16. La proportion continue, est celle où la même quantité est le consequent du premier raport & l'antecedent du second, comme celle-ci a . b :: b. c.

17. Les quantitez qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainsi la proportion discrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu est nommée moyenne proportionnelle, arithmetique, ou geometrique, selon que la proportion est arithmetique, ou geometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion; le premier & le dernier termes sont nommés extrémes,& les deux du milieu,moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de trois termes : ou plûtôt lorsque plusieurs grandeurs dont le nombre surpasse 3, font rangées de suite, de maniere que chacune d'elles puisse servir de consequent à celle qui la précede; & d'antecedent à celle qui la fuit, cette rangée de grandeurs est appellée progression, arithmetique ou geometrique, selon que les raports que les grandeurs qui la composent ont entr'elles, font arithmetiques ou geometriques. A, B, C, font des progressions arithmetiques. D, E, F, des progressions geometriques.

19. 1 1 est clair (no. 18.) que dans une progreffion arithmetique, l'excés d'un terme quelconque par-deffus celui qui le suit, ou quile précede, doit être toujours le même. De forte que fi on nomme le premier terme d'une progression arithmetique a; & l'excés qui regne dans la progression m, (m peut signifier un nombre quelconque, entier, ou rompu, positif, ou negatif) l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progression arithmetique generale en cette forte

a.a+m.a+2m.a+ 3m, &c.

COROLLAIRE II.

>

20.1 L n'est pas moins évident que si dans la progreffior geometrique, l'on divise un terme quelconque par celui qui le suit, la réduction, ou le quotient sera toujours le même ; c'est pourquoi si l'on nomme le premier terme d'une progrefsion geometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progression n ( n signifie un nombre positif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progression geometrique generale, en cette forte.

1

une autre, donne au quotient n, la même quantité b, divisée par le quotient n donnera cette autre.

21. Ceci se peut aussi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique fuivante a . b :: c.d; fi l'on oub-a, mic doud c sera aussi m;

homme a- -6,
donc a

•

a

m :: c. c-m,

ou a.a+m

a+c+m=a±m + c,

:: c. c+m, d'où l'on voit que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens, c'est - à - dire puisque ces deux sommes, qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

22.

De même, si dans la proportion geometrique suivante a . b :: c.d, on fait =n, l'on aura auffi

=n;

b

n

& partant (n°. 20. ) a.::c.; d'où l'on voit aussi que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, c'est-à-dire,

ac

n

=

ac

n

: car ces deux produits qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

AXIOME I.

23. Si l'on ajoute, ou si l'on soustrait, ou si l'on mul tiplie, ou fi l'on divise des quantitez égales par des quantitez égales ; les sommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens, feront égaux.

COROLLAIRES.

1.1 1 suit qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, ou diviser les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, fia=b, & c = d, l'on aura a+c=b+d,oua+d

2. Il suit aussi de cet Axiome, & de ce que l'Addition

& la Soustraction ont des effets contraires, que l'on peut passer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre en changeant son signe, ce qu'on appelle tranfpofition. On peut même passer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainsi cette équation a+b - cg se peut changer en celle-ci a+b=g+c, ou en celle-ci a=g+c-b, ou en celle-ci a + b c-g=0, ou o=g-a-b +c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter e de part & d'autre du signe d'égalité, parcequ'elle y est soustraite, ce qui donne a+bc+c +c, qui se réduit à a+b=g+c. Il en est ainsi desautres changemens.

3°. Il fuit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les fignes d'une équation : car il n'y a qu'à supposer qu'on fait passer tous les termes d'un membre dans l'autre ; & que l'on peut mettre seuls dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les signes qu'on veut.

4. Il suit encore du même Axiome, & de ce que la division détruit ce que fait la multiplication; & au contraire, qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer: car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un aprés l'autre, ou ce qui revient au même, la multiplier une feule fois par le produit de tous les dénomi. nateurs, & enfuite réduire (art. 1. n°.37.) les termes fractionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette

abx

équation x

G

+3x

bed

a

on la multiplira par c & puis par a, ou une seule fois par at, & l'on aura

+acgx +

C

abccd

a

aabcx

beed:mais(art.1.n°37.) aabex aabx, & bccd; donc abcx + acgx= beed qui n'a plus de fractions. L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs sont des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires sans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénominateurs. Ainsi pour ôter la fraction de cette équation

xx

na

= c, ayant multiplié par by, l'on aura xx aa = bc-cy. Il en est ainsi des autres.

5e. Il suit aussi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre, qui se trouve dans une équation, de toutesautres quantitez qui la mul. tiplient; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance: car il n'y a pour cela qu'à diviser toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre aprés avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre, & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple, fi dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre * seule dans le premier membre, l'on aura en divisant toute l'équation para,

ax

a

bc

a

mais (art. 1. n°. 37.)

Le second membre ne peut être

Si dans celle-ci ax ab + bx-be, l'on veut avoir x seule dans un des membres, l'on aura en transposa nt,& supposant que a furpaffe b ax - bx = ab ax - bx en divisant tout par a-b, l'on aura

en

a-b

bc, &

ab-bc

a-b

:

x ; donc x ===

Si dans cette équation ax - bx=aa- bb, l'on veur

1

ax-bx

ax