Si dans cette équation aaxx+aayy - 2ax2-2axyy+ xxyy = 0 l'on veut mettre yy seule dans le premier membre, l'on aura en transposant aayy y-2axyy + xxyy & en divisant chaque membre par aa

2ax-aaxx,

24. LE S puissances & les racines des quantitez égales font égales.

Ainfi fi x=a, l'on aura en quarrant chaque mem. bre xx = aa ; & fi xx = aa, les racines feront x=±a; fi xx=ab, les racines feront x=+√ab. Sixx=-ab, les racines feront x=+V-ab, qu'on appelle racine imaginaire, parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, telles font toutes les quantitez irrationelles negatives. Siyy= les racines feronty Viaxmais (art. 1. no. 66.) √2ax aaxx = x√2ax Vaa- 2ax+XX=a-x; donc y = Si xx = ax + bb, les racines feront x =

4

2ax3aaxx 4a-2ax+xx

=

Lax3- aaxx Vaa2ax+xx aa, &

xV2ax-aa

a-x

I

2

a+

Vaa+bb: car en transposant, l'on a xx - ax = bb: or fi l'on extrait (art. 1. no. 62) la racine du premier membre xx - ax on trouvera qu'il y manque + aa,

I

4

afin qu'il soit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part

& la racine du second membre ne s'extrait que par le

ou en transposant x=a+√aa+bb. Si les signes

4

étoient

étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation de quantitez irrationelles qui s'y rencontrent, ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux : car s'il ne s'y en renconcontre qu'une, aprés l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer

des quantitez irrationelles, cette équation xx = a Vxx+yy, l'on aura en divisant par

a-x,

√xx+yy, ou en divisant par √xx + yy,

xx

xx

Vxx +yy

=

XX

=a

x+

xx + yy

-x, & en quarrant chaque membre, l'on aura =aa-2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & enfuite de l'autre, comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationelles, cette équation √xx+yy+Vaa-2ax+ xx+yy=b, l'on aura en trans. posant, Vaa-2ax+xx +yy=b - √xx + yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa - 2ax+xx + - 2b√xx + yy + xx +yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 2bVxx+yy =bb-aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx + 4bbyy=6+2aabb+a++4abbx-4a'x + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationelles.

yy

=

66

AXIOME III.

25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle substituer:

C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduit plu sieurs équations à une seule, & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques unes de leurs puissances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisit une des équations (c'est ordinairement la plus simple) & l'on met seule (Axio. 1. & ses Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir, dans un des membres; (c'est ordinairement dans le premier), & l'on substitue dans les autres équations, en la place de cette lettre, ou de fes puissances, fa valeur, ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée; en forte que cette lettre ne se trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus simple des équations réfultantes, & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir, & l'on substitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On réïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'une aprés l'autre, toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir, ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va éclaircir ceci par des Exemples.

EXEMPLES.

1. SOIENT les trois équations A, B, C, dont on veut faire évanouir les deux lettres x & y.

A. xz=yy.

D. xz=bb-2bz+ B. x-y=a. E. x-b+z=a.

C.

z+y=b. F. az+bz-zz=6b-2bz+z G. 222=3bz+az-bb.

Je choisis l'équation C pour faire évanouiry, & j'en tire y=b-z, & en quarrant chaque membre (parceque le quarré de y se trouve dans l'équation A,) j'ai yy =66-262+, & mettant dans l'équation A, pour yy sa valeur bb - 2bz+zz, & dans l'équation B, pour y sa valeur b-z, j'ai les deux équations D&G, où y ne se trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouirx, & j'en tire x = a+b-z, & mettant dans l'équation D pour x sa valeur a + b - z, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la trans. position, l'équation G, où x & y ne se trouvent plus.

2o, Soient les deux équations aa + 2ax + xx = 2yy +2by+bb, & yy + by aa + ax, d'où il faut faire évanouir y. Je remarque que fi la seconde équation étoit multipliée par 2, l'on auroit zyy + 2by2aa + 2ax, où les termes où y se trouve, sont les mêmes que dans la premiere; c'est pourquoi si l'on met dans la premiere pour 2yy + 2by sa valeur + 2aa + 2ax tirée de la seconde, aprés l'avoir multipliée par 2, l'on aura aa + 2ax + xx=2aa + 2ax + bb, qui se réduit à xx = aa +bb. Il en est ainsi des autrés.

27. On peut encore parle moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on a x = aab, en supposant ay = xx ; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x3 = aab, l'on aura axy=aab, ou xy = ab; en divisant toute l'équation par a.

=

De même, si l'on a xx=ax+bb, en supposant ac bb, l'on aura xx = ax + at ; & fi l'on a xx = ax + ac, en supposant bb = ac, l'on aura xx = ax + bb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rectangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations: voyez l'Application de l'Algebre à la Geometrie, Section I. art. 2 & 3. On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres, un grand nombre de Theorêmes demontrez sur les raports, proportions, & progressions; maisil y manque la Méthode de les démontrer tous par le mê

८

me principe, qui est ce qu'il y a de plus à defirer tant en cette occafion que dans toutes les autres parties de Ma thematiques.

On pourroit tirer de ce que nous avons dit no. 18,19 20, & 21, une Méthode pour démontrer tres-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques: mais elle n'est pas assez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me suis déterminé à pren. dre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on se propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties de Mathematiques.. Voici le principe..

PRINCIPE

28. A PRE'S avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corollaires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et fi les termes de l'équation que renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables; de forte que par la réduction, elle puisse devenir 0 = 0. Le Theorême sera aussi démontré: car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement semblables fans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être semblables.

r

EXPLICATION DU PRINCIPE

1o. U N Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

2°. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en équation: car fi l'ona, abcd, l'on aura (no. 11.).