.

-b=c-d, fi la proportion est arithmetique, & =, fi la proportion est geométrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports.

3o. Si l'Hypothese ne renferme ni equation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura parce moyen des équations, comme on verra par ces Exemples.

49. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence.

ou

ou

<

d

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la confequen ce par le moyen du figne >, ou <, en cette forte a> <6;%> & on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme fi c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines ; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothese, que si c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celles des raports égaux.

Ce qu'on dira dans la suite des raports & des proportions, se doit entendre des raports & proportions geome triques, à moins qu'on n'avertisse que c'est des raports & proportions arithmetiques qu'on veut parler.

:

A

THEOREME I.

29. S I quatre grandeursa, b, c, d, font en proportion geometrique, le produit des extrémes fera égal au produit des moyens.

A

b

Il faut prouver que fia. b :: c. d, l'on aura ad=bc. L'on a par l'Hypothese a. b :: c. d; donc (no. 11.)

=

': oril est clair (Axio. 1. Coroll. 4.) qu'en ôtanţ les fractions, on aura ad=bc, qui est semblable à la Consequence. C. Q. F. D.

30. On prouvera de même que dans une proportion continue le produit des extrêmes est égal au quarré de la moyenne. Ainsi si a. b :: b.c, l'on aura ac = bb.

Ce Theorême fournit un autre moyen dont nous nous servirons dans la suite, de changer une proportion en équation.

COROLLAIRES.

e

".IL fuit que connoissant trois des termes a, b, c, d'une proportion, on pourra toujours trouver le 4o que je nommex: car puisque (Hyp.) a. b:: c. x, l'on aura (no. 29.) ax= bc; donc en divisant toute cette équation par a, l'on aura x = *, doù l'on voit que la valeur de be divi sée par la valeur de, donnera celle de x.

bc

a

2. De même dans la proportion continue, connois sant les extrêmes a & b, on trouvera la moyenne que je nomme y; car puisque (Hyp.) a. yy.b, l'on aura yy = ab; & partant (Axio. 2.) y = + Vab; c'est pourquoi la racine de la valeur de ab sera la valeur de y. Les valeurs negatives ne fatisfont point aux Problêmes, On en expliquera l'usage ailleurs.

A

THEOREME II.

31. LES racines des produits qui forment chaque membre d'une équation font reciproquement proportionnelles, c'est-à-dire qu'en prenant les racines d'un des membres pour les extrémés, & les racines de l'autre pour les moyens, ces quatre racines formeront une proportion.

Soit l'équation abc = dfg. Il faut prouver que ab. df:: g.c, ou afin que la consequence soit en équation

df

ab

: car l'équation ne peut être vraye que la proportion ne le foit auffi. En divisant toute l'équation abc = dfg, par ge, l'on

fer. On peut tirer de la même équation abc = dfz plusieurs autres proportions, & les démontrer de la même maniere, pourvu qu'on prenne les extrêmes dans un membre, & les moyens dans l'autre, & qu'on garde la Loi des Homogenes, c'est-à-dire que les termes de chaque raport ayent un pareil nombre de dimensions: par exemple, on en peut tirera. d:: fg. bc; b. f :: dg.ac, &c. mais quoiqu'on le puiffe, on n'en doit pas tirer a. df: g.bc: car on compareroit des quantitez de differens genres, comme une ligne avec un plan. Il en est ainsi des

autres.

29. Il est clair qu'afin qu'une équation puisse être réduite en proportion, il faut que chaque membre foit le produit de deux quantitez qui se puisse séparer par la division; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx=ax+bben proportion dans l'état où elle est: car le second mem

bre ne peut être divisé par aucune quantité: mais en transposant, l'on axx-ax=bb, d'où l'on peut tirer x . 6 :: b. x - a. De celle-ci xx = aa - bb, on peut tirer a-b.x::x.a+b. De celle-ci xx=aa + bb, ou xx

aa=bb, on peut tirer x-a.bb.x+a. Mais pour changer celle-ci xx = aa - be en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté soitb, ou ci faisant donc, par exemple, bc=dd, l'on aura xx = aa-dd, d'où l'on tire a-d.xx.a +d. Il en est ainsi des autres.

ab

3. Il suit aussi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres: car faifant =x, l'on aura en multipliant parc, xi donc (n°. 31.) c.ab.x ouc.a :: b.

ab = cx

ab

C

د

4°. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, seront proportionelles, c'est-à-dire que a. b :: cd, elles feront auffi proportionelles dans les quatre variations suivantes.

1. a. c:: b.d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a :: d. c, ce qu'on appelle, invertendo.

3.

a+b.bc+d. d, ce qu'on appelle, componendo. 4.a-b.bc-d.d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (no. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront aufi. Or la premiere & la seconde analogie donnent ad

be, la troisieme donne ad + bd = bc+bd,& la quatrieme ad -bd = bc-bd : mais l'Hypothese a . b :: c.d, donnée ad = bc, qui est la premiere équation, & qui montre par consequent la verité des deux premieres analogies.

Si l'on ajoute, & fi l'on soustrait bd de chaque membre de l'équation ad = bc tirez de l'Hypothese, lon aura ad+bdbc+bd, & ad -bd-bc-bd, qui sont semblables semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

A

THEOREME III.

32. S I deux grandeurs quelconques a & b, font multipliées par une mème grandeur c, rationelle, ou irrationelle, les produits ac & bc, feront en même raison que les mèmes quantitez a, & b.

Il faut prouver que ac

ou, afin que la con

sequence soit en équation, que (n°. 29.) abc = abc. Parceque les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no, 29, 31.) que ce qui étoit proposé est

vrai.

COROLLAIRES

1. I 1 est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, sans que ces raports cessent d'être égaux.

2. Et parceque les raports, ou les divisions indiquées font des fractions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra

fans que cette fraction change de valeur. Ainfi

en multipliant les deux termes par c.

a

ac bc

:

3°. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien; c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction, dont le dénominateur sera telle quantité qu'on

: