cifément l'ouvrage propofé 36 toifes quarrées ; ce qui peut fervir de preuve à la régle.

A l'égard de la preuve ordinaire de cet éxem ple, il eft encore évident que le produit de chaque force particuliere par le temps pendant lequel on l'a fait travailler, marque fa quantité totale d'ouvrage d'une maniere generale & indéterminée. Donc le feul produit de la force moyenne ou Equivalente (8) par fon temps 105 jours, fçavoir 840 doit être le même, que la fomme des produits des forces extrémes 5, 7 & 12, par le temps 35 de chacune ou des trois enfemble 24 par 35, ou enfin de 140 par 6; ce qui eft manifefte; & lorfqu'il y aura des fractions dans les agents & dans leur temps, on fera les quatre multiplications ci-deffus par parties aliquotes; finon on réfoudra les trois régles de proportion fuivantes, felon la remarque de la preuve de l'article 1. [ Si I donne liv. pefant de force.... onces.... drac. combien 35 jours..... heures ..... minutes ? 1 Il viendra un 4 terme qui marquera en general le temps de la premiere force. [ Sii donne 7, combien 3 [Si i donne 12, combien 35? ] Et [ Si I donne 8, combien 105? il viendra un temps ou 4 terme qui doit étre feul égal aux trois réponses ci-deffus des trois forces extrémes enfemble, afin que l'agent moyen leur foit Equivalent à toutes 3 comme il le doit.

Sur le gain, la dépense, l'ouvrage, &c.

VI. Un certain nombre d'agents (comme 100)de differentes efpeces ont concouru à faire en mêmetemps, un certain ouvrage qui vaut 1800 livres; la premiere efpece ou claffe gagnoient chacun 30

liv. la deuxième 20 liv. la troifiéme 15 liv. & la quatriéme 10 liv. On demande combien il y avoit d'agens dans chaque claffe.

6e EXEMPLE >

ou l'Equivalent n'eft point donné.

premiere claffe, 30tt

deuxième claffe, 20ft

claffe moyenne, 18

Pour répondre à cette queftion, il faut remarquer que l'efpece moyenne, ou l'Equivalent de l'Alliage n'eft point ici troifiéme claße, 1s #donné, comme dans les quatrième claffe, 1ott éxemples précédens. Mais il n'eft rien de plus aifé que de le connoître; puifque l'ouvrage entier de 1800 liv. divifé par le nombre entier d'ouvriers, fçavoir foo, donnera 18 pour le gain Equivalent, ou moyen qui conviendroit à chaque ouvrier, s'ils travailloient tous également. Il ne refte donc que de réfoudre la Régle d'Alliage à l'ordinaire, qui donnera 32 pour la premiere claffe d'ouvrers, 12 pour la feconde, 8 pour la 3, & 48 pour la 4° ; & ces quatre valeurs font précisément les 100 ou vriers propofez.

2

I 2

4

Réfolution.

32. nombre de la 1re claffe. 12. nombre de la 2o claffe.

8. nombre de la ze claße: 48. nombre de la 4 claffe.

A l'égard de la preuve, il eft évident que les 32 agents multipliez par le gain de chacun, fçavoir par 30; plus les 12 multipliez par le gain de chacun, fçavoir 20; plus les 8 multipliez par le

gain de chacun, fçavoir 15; plus enfin les 48 multipliez par le gain 10 de chacun; le tout enfemble doit compofer les 1800 parties de gain, auffibien que les 100 ouvriers multipliez par leur quantité de gain Equivalent, ( 18) ce qui fe voit ici à l'œil.

Il faut remarquer que les éxemples de l'efpece de ce dernier ne réuffiffent que par le plus grand hazard du monde, à caufe que toutes les réponses que l'on demande doivent arriver fans fractions; c'est la même chofe lorsqu'on demande de faire une certaine fomme, comme par éxemple 9 liv. 10 fols avec des pieces de 5, de 1o, de 15, & de 30 fols; car il y a beaucoup à tatonner avant d'amener réponses en entiers, comme les 4 nombres 1, 2, 3,4; c'est pourquoi cet éxemple & le précédent ne font bons, au plus, que pour éxercer les com

mençans.

4

Théorie.

VII. L'on a vû dans tous les éxemples précedens que la nature des Alliages demande, que Ta fomme de tous les produits de chaque efpece extréme, comme 30. 20, 15, 10, (dans le 6e éxemple) par fa réponse (32, 12, 8, 48,) foit toujours égale au feul produit de l'Efpece moyenne par le ze lieu de la régle de focieté, commme ici de 18 par 100, que cette efpece moyenne devienne un Equivalent à l'égard des efpeces propofées ( 30, 20, 15, 10, ) & de leurs quantitez (32, 12, 8, 48.)

afin

Or c'eft une proprieté de tout nombre, comme 18 pris entre plufieurs autres à fouhait 30, 20, 15, 10, en nombre égal au deffus & au deffous de lui,

repetez

repetez ou non repetez. [ Que toujours la fomme des produits de chaque nombre, par la difference de fon correfpondant (comme ici de 30 par 8, difference de 10; de 20 par 3, difference de 15; de 15 par 2, difference de 20; & de 10 par 12, difference de 30,) eft égale au feul produit de la quantité moyenne ( 18,) par la fomme 25 de toutes ces differences: ] dont la raifon eft, que le produit de 18 par 25 eft la même chofe que le produit de 18 par 8, enfuite par 3, enfuite par 2, enfin par 12; en ajoutant ces quatre derniers produits. Or fi après avoir multiplié 30 par 8 & 20 par 3, on multiplie auffi 18 par 8 & par 3, il eft évident que les deux derniers produits enfemble feront moindres que les deux premiers enfemble du produit de 8 par l'excès de 30 fur 18, fçavoir 12, & du produit de 3 par l'excès de 20 fur 18; fçavoir 2. Mais en recompenfe fi l'on multiplie encore 15 par 2 & 10 par 12; & qu'enfuite on multiplie 18 par 2 & par 12, ces deux derniers produits furpafferont ces 2 premiers du produit de 2 par l'excès de 18 fur 15, fçavoir 3; & du produit de 12 par l'excès de 18 fur 10, fçavoir 8. Donc ces deux derniers produits furpafferont ces deux premiers, d'autant que les deux premiers de la premiere opération ci-deffus furpaffent les deux derniers de cette même opération. Donc la fomme des quatre derniers produits des deux opérations doit être parfaitement égale à celle des quatre premiers des deux mêmes opérations, à cause de la compenfation qui fe trouve entre les quatre d'une part, & les quatre de l'autre.

Mais c'eft auffi une proprieté de la Régle de compagnie dont on s'eft fervi pour réfoudre celles de l'Alliage. [ Que les parties de profit ( 32. 12. 8. 48.) ont toujours le même rapport entr'elles,

&

& chacune avec leur fomme totale (100,) que les differentes parties de la mife (8. 3. 2. 12.) ont entr'elles, & chacune avec leur fomme totale (25) T D'où il fuit que fi au lieu de multiplier 30 par 8, 20 par 3, 15 par 2, & 10 par 12, on multiplie 30 par 32, 20 par 12, 15 par 8, & 10 par 48; & qu'en même-temps, au lieu de multiplier 18 par 25, on multiplie 18 par 100; ce dernier produit fera encore feul égal aux quatre 30 par 32, 20 par 12, 15 par 8,& 10 par 48; ce qu'il falloit prouver.

CHAPITRE XVIII.

Des Proportions & Progreffions arithmetiques, & des Progreffions Géométriques.

ART. I.

a plufieurs nombres qui fe fur

Spaffent également les uns les autres,

étant pris de fuite deux à deux feulement, comme les nombres (2, 4; 5, 7; 10, 12, &c.) ou (o, 3; 5, 8; 9, 12, &c.) on dit qu'ils font en proportion arithmetique, comme l'on dit que des nombres font en Proportion géométrique, lorfqu'ils fe contiennent également les uns & les autres, étant pris de fuite, feulement 2 à 2; comme les nombres (2, 4; 5, 10; 10, 20, &c.) ou comme ceux-ci ( 1 3; 5, Isi 8 , 24, &c.) C'eft de ces dernieres proportions dont on a fait ufage jufqu'icy.

,

Mais fi tous les termes fe furpaffent également fans interruption, comme ceux-ci (2, 4, 6, 8, 10, 12, &c.) ou (0, 3, 6, 9, 12, &c.) on dit alors qu'ils forment une progreffion arithmétique; &

I