nes, il ne s'agit, ayant fitué la premiere rangée A B de 18, par exemple, que d'en mettre une autre parallelle de 19, dont les unitez foient diftantes entr'elles & avec celles de AB autant que celles de AB; enforte que trois unitez voifines quelconques faffent toujours un triangle équilateral parfait, & continuer ces rangées, jufqu'au nombre de 18; enfuite dequoi il les faudra faire diminuer de même chacune d'une unité, jufqu'au nombre de 18 encore, & alors l'Exagone fera achevé.

A l'égard des Théories de ces deux derniers articles, elles me paroiffent trop compofées pour des Commençans; c'eft pourquoi l'on me permettra de les renvoyer à quelque traité d'Algébre.

CHAPITRE II.

老姊姊

Des opérations d'Aritmétique fur les Fractions & fur les fractions de fractions.

ART.I.Ltier, ou de la mesure dont on fe fert, Orfque les parties propofées de l'Enne fe réduisent pas les unes aux autres ou à une même, comme fi l'on a des tiers, des cinquièmes, des huitièmes, &c. on eft alors obligé d'opérer immédiatement fur ces differentes parties, c'est-àdire de les ajouter, fouftraire, multiplier, divifer, d'en former les puiffances, & d'en tirer les racines quarrées, fans les changer, comme on l'a déja vû dans la premiere Partie à l'égard de l'Addition & de la Souftraction des parties abfoluës. D'un autre côté il eft quelques-fois plus fimple de travailler fur des moitiez, des tiers, des quarts, &c. d'Entiers, que fur les parties ufuelles; ainfi par

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éxemple, un tiers de livre ou de 20 fols eft 6 fols 8 den. & eft fols 4 den. Or on a bien plutoft multiplié par un ; (ce qui donne comme on le verra ci-après,) qu'on n'a multiplié 6 fols 8 d. par 3 fols 4 den. du moins l'expreffion eft-elle fouvent beaucoup plus fimple. Enfin ces expreffions generales de moitiés, de cinquièmes, de feptiémes, &c. font tres-communes dans toutes les autres parties des Mathématiques, où les parties ufuelles font le plus fouvent negligées; principalement quand il ne s'agit que de comparer les quantitez, fans en venir à l'ufage. C'eft pourquoi il eft utile en ce cas de fçavoir faire les opérations d'arithmétique fur les fractions. Or il y a de deux efpeces de Fractions, fçavoir celles dont le Dénominateur eft un nombre quelconque different de l'unité avec des zéros, comme 7, 15, &c. & les autres qui ont l'unité jointe avec des zéros pour leur dénominateur; (comme,,;) les premieres s'appellent fimplement fractions; & les derniers Fractions Décimales, comme on l'a déja dit à la fin du chapitre se de la premiere Partie fur la Divifion. Nous allons traiter maintenant des fractions communes, & nous parlerons dans le chapitre fuivant des Décimales. Or outre les cinq opérations communes d'arithmétique dont on vient de parler, il y en a encore cinq autres qui ne regardent que les Fractions, comme de réduire une fraction à fa plus fimple expreffion; de réduire les fractions en leurs entiers, quand cela fe peut; de réduire au contraire les Entiers en fraction; de donner à plufieurs fractions un même dénominateur le plus fimple; & enfin de réduire les fractions de fractions en une feule & fimple fraction: ce qui fe fait fans changer en aucune façon la valeur de ces fractions; mais en changeant feulement leurs expreffions.

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On a déja enfeigné dans la premiere Partie de quelle maniere on rabaiffe les Expofans d'une fration, comme de 2, par exemple, fçavoir en prenant une femblable partie de chacun ce qui fe fait en commençant d'abord par prendre la moitié de l'un & de l'autre, s'il fe peut : ce qui réduit 2 à 3/5 enfuite prenant encore les moitiez de ces moitiez, s'il eft poffible, jufqu'à ce qu'on ne puiffe plus prendre de moitié. Après quoi il faut prendre de chacun, s'il fe peut ; ce qui réduit encoreà, & continuer encore de prendre les tiers de ces tiers tant qu'il fe peut; après cela il faut tenter de prendre de chacun ; & le cinquième du cinquième, tant qu'il fe pourra: puis enfuite le feptiéme de chacun, & encore le 7e du 7o, tant qu'il fera poffible; enfuite le onzième, puis le 13o, &c. Mais la premiere tentative eft de voir, fi un des Expofans ne peut point être éxactement divifé par l'autre, ainfi 12 étant divifé par 6, le quotient éxact eft 2, que l'on prend au lieu de 12, mettant l'unité au deffus, ainfi ; fi au contraire on avoit 12; la divifion étant faite comme ci-deffus, on mettroit le quotient 2 fur la barre & l'unité deffous, ainfi ou fimplement 2, puifqu'alors l'unité est à l'égard de 2, ce que 6 eft au refpect de 12, & ces deux opérations reviennent à la même ; car c'est la même chofe que fi l'on divifoit d'abord les deux expofans 6 & 12 chacun par 6: ce qui donneroit toujours 1 & 2.

Lorfque les Expofans d'une fraction n'ont aucun divifeur commun, on la nomme alors Fraction Primitive ou Premiere, & fes Expofans nombres Premiers entr'eux, comme l'on nomme nombres Its abfolument ceux qui n'ont aucun divifeur que l'unité, comme les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, &c. Ces nombres Premiers abfolument fe trou

vent tous autour de 6 & de fes multiples 12, 18, 24, 30, 36, &c. excepté les deux premiers 2 & 3.

II. Toutes les fois que le Numérateur d'une Fraction, comme excede fon dénominateur, on peut de cette Fraction faire un ou plufieurs Entiers, & pour cela il ne faut, comme il eft évident, que divifer le Numérateur 20 par le Dénominateur 8, le quotient donnera deux entiers &, qu'on ra baiffera à par l'article précédent : ainfi cette fraction 20 eft la même que 2. On trouvera par cette régle que la fraction n'eft autre chofe que 4 entiers; que n'eft autre chofe que 3, & ainfi des autres. On a vû déja dans la premiere Partie des éxemples de ces réductions; fçavoir lorsqu'on a réduit les deniers en fols, les fols en livres, les grains en drachmes, les drachmes en onces, &c.

On a vû auffi des éxemples des réductions d'entiers en Fraction; fçavoir lorsqu'on a réduit les livres en fols, ou vingtiémes de livres, en les multipliant par 20, les fols en deniers ou douzièmes de fols, en les multipliant par 12; & de même des autres efpeces; ainfi il feroit inutile de s'y arrêter davantage.

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III. Pour réduire plufieurs fractions, comme, 3,4, à une même, & plus fimple dénominateur, on multiplie le numérateur de la premiere, par le produit continuel des dénominateurs 3 & 4 des deux autres ; c'eft-à-dire par 12: ce qui donne 1 2 pour le numérateur de la re fraction changée. Pour avoir le numérateur 16 de la 2o fraction changée, on prend auffi le produit des dénominateurs 2 & 4 des deux autres; fçavoir 8, que l'on multiplie par fon numérateur 2; ce qui donne 16 : & pour avoir le numérateur 18 de la 3e fraction changée, l'on multiplie entr'eux les dénominateurs 2 & 3 des deux autres, & le produit par fon numérateur 3;

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ainfi les numérateurs des trois nouvelles fractions font 12, 16, & 18; & leur dénominateur commun eft le produit continuel 24 des 3 dénominateurs propofez 2, 3 & 4. Ainfi ces trois fractions (1,3, 1) fe changent en celles-cy (14, 14, 24,) qui fe rabaiffent enfin à (,,,) en prenant la moitié de chacun des expofans: mais il vaut mieux réduire chaque dénominateur propofé dans fes nombres premiers ou compofans. Comme fi l'on propofe les trois fractions (,,) à réduire au même plus fimple dénominateur; je change les dénominateurs 12, 45, 21 en cette formé (2 × 2 × 3) ( 3 × 3 × 5 ) & ( 3 × 7, & j'ajoute à chacun ce qui lui manque pour les rendre tous égaux ainsi ( 2 × 2 x 3. 3 идн7) (зизид. 2 и 2 м7) (3м 7. 2×2×3×5) ce qui donne le Dénominateur commun défiré 1260 le plus fimple qu'il foit poffible. Il ne reste plus que de multiplier chaque numérateur 5, 7, 11 par le produit qu'on a ajoûté à fon dénominateur; fçavoir s par ros; ce qui donne le numérateur 525; 7 par 28: ce qui donne le numérateur 196; & enfin 11 par 60; ce qui produit 660; après quoi les trois fractions, 47, font tout d'un coup réduites à leur moindre dénomination pareille, ainfi (525, 1960.460.)

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A l'égard de réduire un nombre comme (45,) par éxemple à fes nombres premiers, cela fe fait en le divifant d'abord continuellement par le premier nombre 1, 2, tant qu'il fe peut; enfuite le dernier quotient par le 2d nombre 1, 3, tant qu'il fe peut ce qui réduit 45 à 15, & de 15 à 53 enfuite ce dernier quotient s par le troifiéme nom bre 1, 5,tant qu'il fe peut ce qui réduit 5 à 1, jusqu'à ce que le quotient foit nombre 1, à peu près comme on a vû dans le rabaiffement des fractions de l'art. 1. Après quoi il nerefte que de raffembler