refte rien du nombre à divifer; & lorfque vous viendriez à multiplier la feconde figure, vous diriez 2 fois 5 font 10, ôtés de 7 cela ne fe peut, étant bien fenfible que de 7 écus, par exemple, vous ne fçauriez en ôter 10 : il faut donc ne pofer au Quotient que 1, puifqu'effectivement il n'y a qu'une fois 357 en 675, & dire, 1 fois x eft 3, ôtés de 6 refte 3, qu'il faut écrire fur le 6. Puis une fois eft 5, ôtés de reste 2 7 3 fous le 7. qu'il faut écrire Et pour achever cette Opération, vous dites : I fois 7 eft 7, ôtés de 25 refte bien 18; mais comme je vous l'ai déja dit, il ne faut pas fortir de la dixaine dans laquelle vous multipliez; il faut donc dire 7 ôtés de 15, refte 8 & retient 1, ôté de 2 refte 1, qui font les mêmes 18. pas Par la difpofition du Divifeur avancé d'une figure, vous voyez que vous devez demander combien en 31 eft de fois 3; ce ne peut être 10, parce que 9 eft le plus qu'on puiffe mettre au Quotient: fi vous y mettiez 9, vous diriez, en le multipliant par le Diviseur, 3 fois 9 font 27, de 31 ne resteroit que 3, & lorfqu'il vous faudroit venir à la feconde figure, vous diriez 5 fois 9 font 45, ôtés de 38, cela ne fe peut ; il ne faut donc mettre au Quotient que 8, & dire x fois 8 font 24, ôtés de xx reste 7, qu'il faut pofer deffus. 3 Puis dire, x fois 8 font 40, ôtés de 48, refte le même 8 & retient 4, ôtés de 7 reste 3, qu'il faut écrire deffus. Enfin, vous dites, 7 fois 8 font 56, ôtés de 64 refte 8, posez 8 fur le 4 & retenez 6, ôtés du 8 qui eft fur le S refte 2, qu'il faut finalement écrire fur ce 8, & laiffer ces trois figures (328) fans les barrer › pour défigner que chaque perfonne ayant 18 livres, il leur en reste encore à partager 328 : c'est ce que je ferai dans la Règle que j'intitulerai Règle de Partage. La plus sûre des preuves de la Divifion, eft la Multiplication : attendant que je vous faffe opérer cette quatrième Règle, je vais vous donner l'explication de la Preuve de 9, très-facile auffi à exécuter. Il faut la commencer par le Divifeur, & dire 3 & 5 font 8, 87 font 15; la preuve de IS eft 6, qui s'écrit au haut de la Croix. Puis aller au Quotient, & dire 1 & 8 font 9, la preuve de 9 étant zéro, il faut le poser au bas de la Croix : multipliant enfuite l'un par l'autre, il vient zéro ; & allant chercher après cela la preuve des figures mifes déhors, difant 3 & 2 font 5, & 8 font 13, dont la preuve est 4; il faut poser 4 à l'un des deux bouts de la ligne horifontale de la Croix. Enfin, il faut aller au nombre à divifer, & dire 6 & 7 font 13, dont la preuve eft 4 qu'il faut mettre à l'autre bout reftant de la Croix, & l'égalité de ces deux vis-à-vis eft la preuve que la Règle a été bien faite. Si les deux figures du nombre à diviser, dont je n'ai pas parlé quand j'en ai fait la preuve, n'avoient pas formé le nombre de 9, étant S & 4, j'en aurois cherché la preuve, & c'eft ce que l'on ne doit pas faire dans ce cas-ci. La preuve de la Divifion par la Multiplication s'explique d'ellemême, puifqu'elles font le contraire l'une de l'autre : l'Opération va vous le faire voir. 6754 livres, est donc le nombre que vous avez fuppofé vouloir diviser: s'il étoit ici moindre ou excédent, ce feroit une preuve que votre Division auroit été mal faite. Ce feul exemple de la Preuve de la Divifion par la Multiplication, peut vous fervir de modèle pour les autres divifions que vous voudrez prouver de même. Je fuis, &c. A Lyon ce 25. Février 1745. MÉTHODE DE DIVISER A L'ESPAGNOLE; Dans laquelle on employe moins de Figures, que dans la précédente à la Françoife. J E vous préviens, MON CHER THEOPHILE, que la position du nombre à divifer, & du Divifeur, & la prévoyance pour celle du Quotient, ne different en rien dans ces deux Methodes; la Preuve eft auffi abfolument de même. Vous allez voir tout cela l'Opération des mêmes nombres. OPERATION. par Supposez n'avoir pas bien fait la précédente Divifion, & que pour vous en affurer, vous voulez la faire à l'Espagnole. 318 Nombre à divifer 6784[1 N'y ayant pas en 675, deux fois 357, vous ne devez mettre au Quotient que 1, difant de même, en 6 combien de fois 3, & au lieu de commencer à multiplier l'un par l'autre, comme vous avez fait, à la Françoife; c'eft par là qu'il faut finir; commencez donc par multiplier par le 7, & dites 1 fois 7 eft 7, ôtés de 1% refte 8 qu'il faut pofer fur le 5, & retenir le 1 de la dixaine. de I I : Puis multiplier le S & dire 1 fois, & retenu, font 6, ôtés 7 refte 1, qu'il faut écrire fur le 7. Les étant enfin ôté du il refte 3 qu'il faut écrire deffus le 6; c'est-à-dire, le fubftituer à fa place, puifqu'en le rayant c'est effec tivement le rebuter. SECONDE OPERATION. Avancez le Divifeur de la même manière que vous avez fait, sous le nombre à diviser, de façon que le 3 foit fous le 1 de 31. 32 3188 I Comme le coup d'œil ne peut vous faire aper6784 [18 Quotient. cevoir qu'en 3184, il n'y a pas 9 fois 357, il faut, au lieu de pofer 9 au Quotient, le fuppofer dans votre idée, & dire: 7 fois 9 font 63 ôtés de 64 refte 1 & retient 6; puis 5 fois 2 font 45 & 6 retenus font 51, ôtés 3877 38 de de 58 refte 7 & retient 5, & difant enfin : 3 fois ୨ font 27 & 5 retenus font 32, qu'on ne peut ôter de 31; par conféquent il ne peut aller au Quotient plus de 8. Voyez fans cette fupofition, dans votre idée, le barbouillage que vous auriez fait: fouvenez-vous donc pour une autre fois, & toujours, de faire une femblable fupofition ou examen. Comme il ne peut aller que 8 au Quotient, dites: 7 fois 8 font 56 ôtés de 64 reste 8; pofés ce 8 fur le 4 & retenez 6. Puis dites, en multipliant le Quotient par le 5 Diviseur : x fois 8 font 40, & 6 retenus font 46 ôtés de 48 refte 2 ; pofez ce 2 fur le 8 qui eft au haut dudit 5, & retenez 4. 3x à la Multipliez enfin le Divifeur 3 par le Quotient, difant: 3 fois 8 font 24 & 4 retenus font 28 ôtés de xx refte 3: posez ce 3 place de 31 & ne barrés pas ces 328 qui font les mêmes que vous avez auffi vû ne pouvoir fe divifer par la méthode à la françoise, laquelle a donné deux chiffres de plus dans le corps de l'Opération. Le Quotient' & ce qui refte étant les mêmes, les deux divifions paroiffent avoir été bien faites, & par conféquent les preuves, tant de 9 que de Multiplication, ne peuvent être que les mêmes, n'y ayant rien à changer pour en faire l'Opération. LA MÉTHODE A DE DIVISER L'ITALIENNE. A prévoyance, quant à la position du Quotient, ne diffère en rien dans cette troisième Méthode aux deux précedentes; mais l'arrangement ne fe fait pas de même, puifqu'on peut placer le Divifeur dans quel endroit que ce foit, c'eft-à-dire, deffous ou à côté du Divifeur; comme vous verrez par l'exemple ci-après, pratiqué dans les Divifions faites par les méthodes à la françoife & à l'efpagnole. Dans la méthode que je vous enfeigne à présent, ainsi que dans les autres, il faut toujours fçavoir à chaque Opération, combien de fois le Divifeur eft contenu, foit dans le nombre primitif à divifer ou ceux qui font fubftitués à fa place. Faites pour cela la fuppofition que vous avez déja faite de divifer ou partager 6754 livres, entre 357 perfonnes. H Le nombre à diviser & le Diviseur étant placés, comme dessus, demandez-vous cambien en 6 il y a de fois 3. Comme il faut multiplier les trois figures du Divifeur par celle que vous mettez au Quotient; fi c'étoit 2, il viendroit 714 au produit de la Multiplication, lequel étant fupérieur aux 675 de deflus; il ne peut aller par conféquent, que i au Quotient: airfi dites & pofez deffous: une fois 7, une fois 5 & une fois 3 ; cela fait, ôtez ce produit 357 defd. 675, pour avoir à la Souftraction 318 à côté defquels baissez le 4 à divifer, pour former à la féconde opération le nombre de 3184. Demandez vous à préfent combien en 31, il y a de fois 3. Si vous mettiez 9, comme le veut la première idée, le produit de la Multiplication feroit 3213, que vous ne fçauriez ôter de 3184: il résulte de là que vous ne pouvez mettre que la figure 8 au Quotient de laquelle faifant la Multiplication par le Divifeur, il vient au produit 2856, nombre qu'il faut pofer fous celui de 3184, pour en faire fouftraction l'un de l'autre, ce qui étant fait, il refte, comme aux autres méthodes, 328 liv. qui ne peuvent fe diviser, à moins de les réduire en fols. Si la fomme à divifer avoit un plus grand nombre de figures, & qu'au lieu de quatre qu'en a l'exemple que vous venez de faire, vous en ajoutiez deux ou davantage, il faudroit vous ressouvenir qu'après chaque Opération, on baiffe la figure fuivante du nombre a divifer, à laquelle on n'a point encore parlé ; c'est-à-dire, qu'il faut baiffer cette figure d'abord après que vous avez multiplié le Diviseur par la dernière figure pofée au Quotient, & fouftrait le produit du nombre immédiat fupérieur, & continuer ainfi jufqu'à la fin. Preuve de la Division à l'Italienne. Il faut ajoûter les figures qui restent deffous la division, ne pouvant fe divifer (elles font 328, ainfi que dans les trois précédens |