3. Sur une droite quelconque Ss prolongée de pare & d'autre, (fig. 12, pl. 3,) prenez deux points F, fégalement éloignés du milieu C. Prenez enfuite dans le plan fur lequel la ligne Ss eft pofée, une infinité de points M, m, tels que la différence de leurs diftances FM, fM aux points F, f foit toujours égale à la ligne Ss; la courbe qui paffera par tous ces points M, m sera une hyperbole qui aura pour axe principal, Ss, = ƒM -FM; pour petit axe ou pour axe conjugué, Ll; pour foyers F,f; pour centre commun aux deux hyperboles oppofées, C; pour ordonnée, PM, à laquelle correfpondent les abfciffes SP, sP; pour parametre du grand axe, nFN; pour affymptotes, les lignes Vu & Rr dont la premiere eft parallele à SL & la feconde à S 2 Trouver une équation commune aux trois fections coniques? Réfolution. L'équation demandée eft yy px pxx 24 ou 24yy24pxpxx, laquelle fe réduit en la proportion fuivante yy: 2a x x x :: p: 2 a c'eft-à-dire, dans toute fection conique le quarré d'une ordonnée quelconque à l'axe principal: au produit des abfciffes correfpondantes : le parametre à l'axe principal. Comme prefque toutes les propriétés des fections coniques fe tirent de cette équation, nous allons en démontrer la néceffité dans chacune des fections coniques prifes en particulier, Application de la formule précédente à l'ellipfe. Préparation. Soit l'ellipfe SLs, (fig. 11, pl. 3, Nommons Ss, 2 a; SĊ ou sC = a; Ll, 2b; CL ou Clb; SF ou sf, c; SP, x, PM, y; l'on aura Ps= ST SP =2a x; PC SF · ċ ; F ƒ = S s — SF 2c; Pf: f; FM +ƒMSs sf -SP. SC-SP Démonftration. 1°. Dans le triangle rectangle FĆï; ron a F/2 zacit fcbb; donc zac+cc+ b b =0; donc cc 2ac- bb. 2o. Dans le triangle FMf on a par la trigonométrie l'analogie fuivante; la fomme des deux côtés fM+ FM; au plus grand côté Ff:: fP-PF, différence des fegmens faits par la perpendiculaire MP: ƒMMF, différence des deux côtés ƒM & MF; donè 2a: ·4ax +40x za 2c:: 24. 2x: 44a ·4ac· A 24. ; donc la différence entre ƒM & MF fera 2 a x+ 2cx donc la a CX a moitié de cette différence fera a c Pour avoir la valeur du petit côté MF, ôtez de la moitié de la fomme ƒMMF la moitié de la différence trouvée; donc MF = @ 4°. Dans le triangle rectangle FP M, l'on a P M2 = MF PF2 ou yyx x + 2C x fi cc 2cxx -xx+2cx -cc; donc en ôtant les quantités qui se détruisent, l'on aura y y bb (num, 1 ;) donc l'équation précédente fe changera en celle-ci, yy en ôtant les quantités qui se détruisent, l'on aura y y 4;) donc en faisant x =c comme il arrive lorfque l'abfciffe eft SF, l'on aura y y = 4cc. 203 203 a a CC =20 abfciffe c, ; donc l'ordonnée qui a pour c'est-à-dire, l'ordonnée qui paffe par le foyer vaut 2 c CC a 7°. L'ordonnée qui paffe par le foyer eft précisément la moitié du parametre; donc le parametre d'une ellipse 2bp; donc dans l'ellipfe l'on a cette proportion, le grand axe au petit axec:: le petit axe: au parametre. p: 2a; donc PM: SPX Ps:: le parametre: Ss; donc dans une ellipfe quelconque le quarré d'une ordonnée au produit des abfciffes correfpondantes :: le parametre: à l'axe principal. COROLLAIRE I. yy 2bbx a bbxx (num. 5 ;) aa donc yy: 2axxx::bb: aa; donc, dans l'ellipse le quarré d'une ordonnée quelconque au produit des abfciffes correfpondantes :: le quarré du demi petit axe : au quarré du demi-axe principal. COROLLAIRE II. En comptant les abfciffes depuis le centre C, c'est-à-dire, en nommant CP,.x; l'on aura SP = a ·x, & Ps = a+x. Dans cette hypothefe le produit des abfciffes correfpondantes fera aaxx; & la proportion du corollaire précédent fe changera en celle-ci, yy: aa—xx:: bb: aa; donc aayy aabb bbxx aabb -bbxx; donc yy yy: b b bbxx aa donc ; & c'eft-là l'équation aux axes de l'ellipfe, en comptant les abfciffes, non pas depuis le fommet S, comme nous avons fait jufqu'à préfent, mais depuis le centre C. COROLLAIRE III. En continuant de compter les abfciffes depuis le centre C, la proportion de num. 11 fe changera en celle-ci, yy: aa-xx :: p: 2a; donc aap pxx 2ayyaap- px. x; donc yy pxx donc y y ap 2a 24 ; & c'eft-là l'équation au pa ramettre, en comptant les abfciffes depuis le centre C. zayy COROL. IV. 2ayya ap— pxx; donc P = aa — xx ; & c'eft-là l'équation au point P. En fai a4—xx: a ax' x'; & en retranchant 2 a &p qui font 2 grandeurs communes & conftantes, l'on aura y y: y'y':: aa - X X : aa- x'x'; donc P M2 : pm2:: SP X.Ps: Sp Xps; donc dans une ellipfe quelconque les quarrés des ordonnées font entr'eux comme les produits des abfciffes correfpondantes. COROL. V. L'équation à l'ellipfe abfciffes depuis le centre C,eft 2ayy en comptant les cor. 4;) donc x augmentant, le fecond membre a a x x doit diminuer. Le fecond membre ne peut pas di zayy minuer, fans que le premier membre 24yy P diminue. Mais dans ce premier membre, il n'y a que y qui puiffe diminuer, parce que le grand axe 2 a & le parametre p font des quantités conftantes; donc dans l'ellipfe x augmentant, y doit diminuer. COROL. VI. Lorfqu'il n'y a point d'ordonnée, x eft égal à la moitié du grand axe Ss. En effet lorfqu'il n'y a point d'ordonnée, l'on a y o; lorfque yo, Layy l'équation ➡a a➡x x devient a a-x x = P parce que o ne produit que o, foit qu'il foit multiplicande, foit qu'il foit multiplicateur. Si a axx0, donc a axx ; donc a = x. Mais a représente la moitié du grand axe Ss; donc, lorsqu'il n'y a point d'ordonnée, x eft égal à la moitié du grand axe Ss. COROL. VII. Aux points S & s de l'ellipfe SLs lil ■'y a point d'ordonnée, parce que dans ces deux points x= a, lorsque l'on compte les abfciffes depuis le centre C. COROL. VIII. L'ellipfe fe ferme aux points $ & s, parce qu'à ces deux points il ne peut y avoir aucune or¬ donnée au grand axe Ss. COROL. IX. Les plus grandes ordonnées au grand axe Ss font les lignes CL, CI; parce que les x, prifes du point C, vont toujours en augmentant, & que par con féquent les y ou les ordonnées vont toujours en diminuant, depuis le centre C jufqu'aux fommets S & s (Co roll. 5.> COROL. X. Le petit axe L/ marque la plus grande lar geur de l'ellipfe SLL |