mit den Bedingungen: 2x+3y+4z= = p a+2x+3y+2zp. Aus der Auflösung dieser diophantischen Gleichungen ergiebt sich allgemein: Im besonderen = = 4 = 8 21 = 2 423 F2; 433 = F21; 4,* F2' + F2 F.; 455 F2 Fa; 4, F; 46=3. + Fo? F, F.. Die Bestimmung der 45% resp. 4. erfordert, dafs in der 3 die Glieder ohne a, ver wird durch F, teilbar, wenn - 12q4q,0, oder 3q2 = -q wird, also F, 433 D F, F, = TF. (nach Cayley'scher Bezeichnung). — Daraus folgt, dafs D nicht eine Fundamental-Covariante einer a, ist, wohl aber T; dieses ist bestimmt durch die Gleichung: (mit Auslassung der Faktoren q) das F2 durch den aus T hergeleiteten Wert ersetzt, so erhält man (ebenfalls mit Fortlassung der q): 467 = F37+ F2 F3n-2 F. + F3 F3n-3 T+F4 F37-4F,2+ F5 Faz-5F, T+ F6 F ̧37-6 (F,3 + T2) + F.„7 F ̧37 −7 F ̧2 T + F8 F,37−8 [F,+ + F, T2 ] + Fo F ̧37 −9 [F ̧3 + T2 ]·T +F10 F3737-10 [F,3 + T2] F2 + F11 F37-11 [F,3 + T2] F, T + F12 F12 [F® + F ̧3 T2 + T1 ] + F13 F37-13 [F3+ T2] F,2 T+F, F14 F37-14 [F,6 + F3 T + T 2 ] F, + F15 F.37-15 [F6+ F3 T2 + TTF16 F37-16 [F,6 + F,3 T2 + T1] F‚2 + F1 F37-17 [F,6 + F,3 T2+TF, T+ F18 F.37-18 [F, F,6 T2 + F‚3 T' + T° ] + F,19 + F37-19 [F6F,3 T2 + T1] F2 T + F20 F377-20 [F‚o + F,® T2 + F‚3 T* + T® ] F, + F21 F37-21 [F,9 + F‚® T2 Da nun F, das Glied a3 a3 enthält, das nicht in T2 vorkommt, so können in qFq T die q, in q, nicht so gewählt werden, dafs dieser Ausdruck durch F, teilbar wäre; dasselbe gilt von q, F. + q2 F, T2+qs T etc. Somit sind wir imstande eine Covariante einer a von beliebigem Grade und vom Gewicht 67 sogleich aufzustellen. Z. B. 417 F37-11 [F,3 + T2] F, T. Da aber für = 3 11 > 3л, so ist diese Covariante unmöglich. Der niedrigste Grad einer Covariante von bestimmtem Gewicht ist die Hälfte des Gewichts. = [F13 + T2] T; 4,22 [F,3 + F,® T2 + F,3 T + T] T etc. Berücksichtigt man, dafs 3+1=36 (7-1) F22 F21, so erhält man : 37-3 2 37 2 4 3 37-6 = [F ̧3ñ3 + F2 F ̧3≈ −5 F ̧ + F3 F ̧37—6 T + F4 F ̧37−7 F‚2 + · ·] (F22 F21 + F,2 F, F21) = 46(7-1) [F,2 + F2 F.] F; ebenso 467+2=467 F2; 467 +3 21. Die Diskriminante von a, mufs eine 426 sein, also ist sie 2 4 Sie mufs bekanntlich von der Form aga, 3 sein, d. h. sie mufs für a = O verschwinden. Es mufs also, da nur ao den Faktor a, und a, nicht enthält, 216 qq=0 Bezeichnet man F, 2 S, so erhält man die bekannte Beziehung: = S3 27 T 4. Endlich folgt, dafs eine a aufser F2, F21, F, und T keine andern FundamentalCovarianten hat. Die Bestimmung der Koeffizienten q wird bei gegebenem Symbol nach dem Vorangehenden sehr einfach. Man kann jedoch ohne gegebenes Symbol Covarianten von gegebenem Gewicht und Grad aufstellen. Dann lassen sich die q auf doppelte Weise bestimmen. Man kann zuerst in der Summe der einseitigen Concomitanten den einzelnen solche Koeffizienten geben, dafs die Glieder, welche F, F etc. enthalten, verschwinden. So ist z. B. Zweitens kann man auch ins Auge fassen, dafs in einer 5, unter der Bedingung der Teilbarkeit durch a (d. i. durch F) die Glieder, welche a-1 oder niedere Potenzen von a, enthalten, verschwinden müssen. So müssen in 5,10 folgende Glieder fortfallen, damit sie zur Invariante 5, werde: 21 510= a FbF2 F2+cF2 F3 F,+ d F, F, F,+ e F F F + fF F F F + g Fo Fu ist, so ergeben sich folgende Gleichungen: (18, die sich reduzieren auf 6) 2a-b=0 2 2 21 4 2 21 41 41 Danach wird 4 41 2 21 4 Foo 510 Fo F2 + 2 F2 F2 F2-6 F2 F, - 3 F23 F4. 23. Beim Durchrechnen findet man Folgendes: 2 Diejenigen Gleichungen, welche erfüllt sein müssen um die Glieder a verschwinden zu lassen, enthalten zugleich die Bedingungen für das Verschwinden der Glieder mit a' und ao. Allgemein enthalten die Gleichungen, welche a-1 verschwinden machen, zugleich die Bedingungen für das Verschwinden der Glieder mit a-2. Der Beweis wird leicht, aber weitläufig durch wirkliche Aufstellung der allgemeinen Gleichungen geführt. -Die Glieder einer Covariante, welche verschwinden müssen, wenn sie vom Grade 2 sein soll haben die Form: Aus den Lösungsanzahlen beider Gleichungen ergiebt sich die unterste Grenze für den Grad einer Covariante von bestimmten Gewicht. 4 Fo* 5* = F212 - 41 2 [F.2 F,2 + 6F2+ 12 F2 F2 — 4F2 F21 F1-5F2 F22 F,] + q Fo* F‚2. 4F.* 5,5 = [— 2F,' F2 Fu+5F,' F2 F2 F, - 6F23 F2 — 12F1⁄23]+qFo* F, F. 144 F +144 F23 F21' + 36 F2-72F F2 F2 F-36 F2 F2 F+5 Fo‘F22 F2 4 F. 6 16F 7 0 511 512 = 2 4 41 5 4 6 2 [12 F213 F +6F, F2 F-12F, F12 F1-6F2 F1 -5 F F2 F2F," +7 Fo2 F23 F4 F41 + 4 Fo2 F21 F412 .— Fo* F, F]. F'. 16F 536 F2+ 144 F2 F212 + 144 F2 F21* — 60 F2 F25 F, — 120 F2 F2 F3 F4 +33 F F F +16 F FF2-6F6 F, F,3-48 F, F23 F1 F1-96 Fo2 F213 F41 +40F F2 F21 F4 F41-8 Fo* F22 F2. 4 3 4 0 16F. 5, 36F, F21 +144 F2 F213 + 144 F21 - 60 F2 F2 F21 F-120 F2 F2 F213 F -28 F F23 F, F-16 F F F F +4 For F, F,2 F8F F2 F21 F412. 2 +23F F22 F2 F-6F8 F.3 F1 + 32 F, F21 F, F2-8F6 F2 F413. 4 41 2 Fu + 12 Fo* F2* F, F1 + 24 Fo*F2 F212 F4 F41 4 216F11296 F F +2592 FF-1728 F, F-540 F2 F2 F, - -144 F F 2 49 F F 0 6 2 4 21 3 2 41 3 F F SF6 F212 F,2 F1 + 8F,8 F2 F,3 F11 + 48 Fo* F23 F21 Fu12 + +96F F F12-48 F F F F F +8F, F,a F„‚3. F21 - F1 F F-144F, F. F2,* F1 + 84 F* F3 F, F1 + 168 F* F22 F21a F1 Fu 41 4 3 2 4 2 +1188F F3 F, F,2+288 F* F* F* — 241 F F2* F ̧3 — 232F6 F2 F1⁄23 F13 + 8 2 41 10 F + 720 F. F2 -300 F, F2F 21 F2 F1 + 40F, 6 2 41 6 2 2 21 6 -288 F F F F2 + 72 F® F3 F, F„‚2 — 96 F F 2 41 6 8 F8 F2 F.2 F2 + 32F F2 F21 F413. 9 4 6 21 1296 F F21- 7776F2 F3 15552 F, 3 2 F5 — 10368 F + 21 4 8 6 F3 F.2 +924 Fo® F23 F21 F43 + - 25.3. 41 F F F F2-26 32 41 F. F22 F2, F,2 + 23 349 F. F ̧° F‚3 + 4 21 4 530 12 6 8 2 6 21 4 3 8 4 4 6 3 2 0 29 F18 2o F ̧1o 5,12 = + 2′ 89 F, F‚o F„‚a F‚3 + 23 · 377 F‚o F ̧3 F„* F‚a + 2a · 7 F„o F„o F‚3 — 25 F6 F21 1579 F F F 2. 1883 F, F, F2 F, — 2° F. F2 F2, F, + +2.389 F1° F5 F52371 F10 F2 F2 F5-22 52 F12 F3 F,6 — -233F12 FF + 23 F1F2F,' — 26 32 F* F2° F2 F‚ F-22 33 F* F2° F2,3 F1F — 4 3 - 28 33 F F F F F — 2o 32 F F F F1 + 25 3 19 F F2 F21 F,2 Fa + 0 2 4 4 41 3 0 23.19 FF2 Fa3 F2 F + 2'3. 8 2 4 41 5 7 21 4 41 6 19 F F F F F — 2 4 41 -2.5.23 FF,5FF, F-25523 FF2 2 4 4 +22.5.19 F10 F23 F21 F, F1 +26 5 F10 F13 F, 4 F, 41 7 21 -- 26 32 FF10 F12-27 33 F F F F — 28 33 2 6 41 -29 32 F, F, F1 F2+28 3 F 2 41 4 2 4 2 0 21 0 41 F F, F.2 + 210 3 F 6 5 2 21 F F F F2+ 2 F, F, F., 25 41-F, F2 F12 25. Aus diesen verhältnismäfsig kurzen Ausdrücken für die Cov. eines a, lassen sich nun leicht die ferneren Beziehungen derselben darstellen. So folgt z. B. aus 12F6F3 F + 5 F2 F, F, F, — 2F,2 F.2 F1 4F,'5138=[12F21 3F+6F2 3FF-5F, FFF,2--12F,F2F-6FF+7F, F.2F‚F1-F, F,2Fa+ +3+4 +4F2F2F12]F2 41 12F,F,F,T-2F2 F, F. [F2 F-F2F]-12F, F2 F1T+2F2F2F,F-F„*F‚2Fn+ 21 *) Es fehlt die F.19 51332 mit 81 Gliedern und die schiefen Invarianten mit vielen hundert Gliedern. |