moment par rapport à CD feroit SR,& par rapport à KZ; *R, & ainfi des autres.

Et dans ces cas on pourroit trouver la fomme des fecteurs par les Méthodes que nous avons fuivies, mais on ne pourroit pas trouver de la même façon la fomme des momens, à cause du figne radical; & il faudroit chercher ce moment par d'autres calculs, tel qu'eft par exemple le calcul intégral dont nous par lerons dans un autre Ouvrage.

De la grandeur & des centres de gravité des Figures terminées par une ligne courbe & une ligne droite.

281.

'ON deffein n'eft pas de traiter ici de toutes les figures terminées par une courbe & une droite, mais fimplement de celles dont les Elemens sont entr'eux dans un rapport connu, mais auparavant nous donnerons quelques prin cipes néceffaires pour l'intelligence de ce que nous en devons dire.

282. Soient deux lignes AB, BC (Fig. 192.) qui fe coupent à angles droits, fi l'on éleve des perpendiculaires fur la premiere AB, ces perpendiculaires que nous appellerons toujours y font dites ordonnées à la droite AB, & les parties qu'elles coupent fur la droite AB, à compter du fommet B & que nous appellerons x, font dites les abfciffes de ces ordonnées. De même, les perpendiculaires fur l'autre droite BC feront appellées x, & leurs abfciffes, c'eft-à-dire les parties qu'elles coupent à compter du fommet B feront appellées y.

283. On fçait qu'il y a plufieurs dégrés différens de paraboles, la quarrée dont les quarrés des ordonnées font entr'eux comme les abfciffes, la cubique ou du troifiéme dégré dont les cubes des ordonnées font entr'eux comme les abfciffes, & ainfi de fuite. Or il eft bon de fçavoir qu'à l'exception de la parabole quarrée toutes celles des autres dégrés comprennent plufieurs efpeces, & voici comment on en connoîtra le nombre & les différences.

Dans la parabole quarrée, les quarrés des ordonnées étant entr'eux comme les abfciffes, on a yyxa en appellant a le parametre., & en fuppofant que la droite AB (Fig. 192.) foit l'axe, & BC la tangente au fommet. Mais fi des mêmes points où les ordonnées coupent la courbe, on mene des perpendiculaires fur BC, ces perpendiculaires feront égales aux abfciffes x, & les parties qu'elles coupent fur la tangente feront égales aux ordonnées y; c'eft pourquoi fi l'on nomme les perpendiculaires y, & les coupées fur la tangente, x, on aura xx=ay; or ces deux expreffions yy=ax, ou xx=ay ne reprefentent qu'une même parabole dont les points font rapportés tantôt à l'axe, tantôt à la tangente, & l'on voit bien qu'il n'eft pas poffible de combiner d'une autre façon les trois lettres y, x, a, en fuppofant, comme il le faut fuppofer néceffairement, qu'il y aye toujours ou le quarré yy, ou le quarré xx, & jamais tous les deux à la fois. Donc il n'y a qu'une parabole du fecond dégré.

Dans la parabole cubique dont l'axe eft la droite AB, on a y3=a2x, & en supposant que la droite BC foit prise pour axe, on a x3 — a2y, & l'une & l'autre expreffion reprefentent la même parabole rapportée tantôt à l'axe, tantôt à la tangente. Or les trois lettres y, x, a, peuvent fe combiner encore d'une autre façon, en obfervant toujours qu'il n'y aye que le cube y3 ou le cube x3; car à l'égard de l'axe AB on peut faire y3= ax2 & à l'égard de l'axe BC x3=ay2; & l'on voit bien que cette parabole-ci eft différente de l'autre, en ce que dans l'une, le cube des ordonnées eft égal au rectangle de l'abfciffe par le quarré du parametre, & dans l'autre, il eft égal au quarré de l'abfciffe multiplié par le parametre. Donc il y a deux différentes paraboles du troifiéme dégré, & l'on ne fçauroit en imaginer davantage, parce que les trois lettres y, x, a, ne peuvent pas fe combiner d'une autre façon, en gardant les conditions requifes.

Dans la parabole du quatrième dégré, on a par rapport au diametre AB y4a3x,& par rapport au diametre BC,x4a3y. Orles trois lettres y, x, a, peuvent encore fe combiner de deux diffé rentes façons; car on peut faire y4=aaxx, ou x4 — aayy, & y ―ax3, ou x—ay3, ce qui constitue deux autres paraboles du même quatrième. Donc il y a trois paraboles du quatriéme dégré, & on ne fçauroit en imaginer davantage, à caufe que les trois lettres y,x,a, ne peuvent fe combiner autrement. A proprement

parler il n'y en a que deux, car fi l'on tire la racine quarrée de la parabole y+=aaxx, ou a4=aayy, on aura y2 =ax, ou & par conféquent la parabole fera du fecond

x2ay,

& non pas du quatrième.

genre, Et on trouvera de même qu'il y a quatre différentes paraboles du cinquiéme dégré y=a+x, où x5 = a1y; y5=a3x2, ou x5=a3y2; y5a2x3, ou x5 = a2y3 ; y=ax2, ou x5 = ay4, cinq différentes paraboles du fixiéme, & ainfi de fuite; de forte que dans chaque dégré le nombre des différentes paraboles est égal à l'expofant du dégré moins l'unité. Ainfi dans la parabole du troifiéme dégré dont l'expofant eft 3, le nombre des différentes paraboles eft 2; dans le quatriéme dont l'expofant eft 4; le nombre des paraboles eft 3, &c.

Dans chaque parabole, nous appellerons expofant de la puiffance de l'ordonnée le dégré auquel cette ordonnée eft élevée dans l'expreffion qui représente cette parabole, & expofant de la puiffance de l'abfciffe le dégré auquel cet abfciffe eft élevée dans l'expreffion de la parabole; ainfi dans la parabole y3=ax2, le nombre 3 fera l'expofant de la puiffance de l'ordonnée, & le nombre a l'expofant de la puissance de l'abfciffe.

I

284. Dans toute parabole P'expofant des ordonnées est égal à l'ex-. pofant de la puissance des abfciffes divifé par l'expofant de la puiffance des ordonnées. Par exemple dans la parabole quarrée, on a yyax ; tirant donc de part & d'autre la racine quarrée, on aura y=ax x2, c'eft-à-dire les ordonnées font entr'elles comme les racines quarrées des abfciffes. Or l'expofant de ces racines eft, & cet expofant eft une fraction dont le numérateur est l'expofant i de la puiffance x, divifé par l'expofant 2 de la puiffance y2, donc, &c. De même dans la premiere parabole cubique, on a y3 = a2x, & tirant la racine cubique, on aura y =ax, donc les y font entr'eux comme les ax, ou comme les x, & l'exposantest une fraction dont le numérateur 1 eft l'expofant de la puiffance x divifé par l'expofant 3 de la puiffance y3. Dans la feconde parabole cubique, on a y3—ax2; donc y=a3×3; & par conféquent les y font entr'eux comme les x. Or l'expofanta pour numérateur l'expofant 2 de la puiffance x2, & pour dénominateur l'expofant 3 de la puissance y3, donc, &c. En général i l'expofant de la puiffance des

abfciffes

abfciffes eft n, & celui de la puiffance des ordonnées est m, l'expofant des ordonnées fera

n

m

285. Toute parabole eft au rectangle circonfcrit comme l'expofant de la puiffance de fes ordonnées eft à ce même expofant plus l'expofant de la puiffance des abfciffes. Suppofons l'expofant de la puiffance des abfciffes n, celui de la puiffance des ordonnées m, l'expofant des ordonnées fera donc ; or par les regles de l'A

rithmétique des Infinis, la parabole

n

n

m

eft au rectangle circonscrit

comme i eft à 1+1 ; réduisant donc 1

m

m

en fraction, on aura

n

la parabole est au rectangle comme est à +

m

eft à "+m

m

m

ou comme m à n+m; ainsi

m

la parabole quarrée par exemple est au rectangle comme 1 à +1, ou comme à, ou comme 2 à 3, c'eft-à-dire comme l'expofant 2 de la puiffance y2 eft à 2+1=3 qui eft la fomme de l'expofant 2 de la puiffance y2, & de l'expofant 1 de la puiffance x. De même, la feconde parabole cubique y3: = ax2 eft au rectangle comme 1 à÷+1, ou comme à2+3, ou comme l'expofant 3 de la puiffance y3 à la fomme 2+3 des expofans des puiffances y3, x2.

3

286. Dans toute parabole la diftance du centre de gravité à la bafe eft à la diftance du centre de gravité au fommet encore comme l'expofant m à la fomme m+n des deux expofans. Car nous avons vû plus haut (N. 101.) que la premiere de ces diftances. étoit à l'autre comme 1 à l'expofant

Tout complement de parabole eft au rectangle circonfcrit comme L'expofant de la puiffance des ordonnées à ce complement eft à la fomme de cet expofant & de celui de la puiffance des abfciffes. Dans toutes les expreffions des paraboles où les y fe trouvent dans un dégré plus élevé que les x, la parabole a fa concavité tournée du côté de l'axe AB (Fig. 192.) c'est-à-dire les ordonnées à la parabole font les y ordonnés à cet axe, parce qu'ils font élevés au même dégré que la parabole, & les x qui reprefentent les abfciffes repréfentent auffi les ordonnées du complement paralleles à l'axe AB; car il est évident que fi des points où ces paralleles coupent la courbe, on mene des perpendiculaires à l'axe AB, les abfciffes que ces perpendiculaires coupent feront égales aux

Ppp

termes comme I

ordonnées du complement, & par la même raison les abfciffes que les ordonnées du complement font fur la tangente BC feront égales aux ordonnées de la parabole comprifes entre l'axe & les ordonnées au complement. Or dans la parabole quarrée on a y2=ax, donc tous les x ou les ordonnées du complement font entr'elles comme les quarrés y2 dont l'exposant eft 2, donc leur fomme eft à la derniere multipliée par le nombre des à 3, ou comme 1 à 2+1, c'est-à-dire comme l'expofant i de la puiffance des ordonnées au complement, eft à l'expofant 2 de la puiffance des ordonnées à la parabole plus le même expofant 1, de même dans la feconde parabole cubique y3ax2, les x1 font entr'eux comme les y3; car puifque les x2 multipliés par a,qui eft une grandeur conftante, font égaux à y3; fi on les divife par a, les quotients x2 feront comme les y3, & tirant la racine quarrée les x feront comme les y dont l'expofant eft, donc la fomme des x fera au dernier terme multiplié par le nombre des termes comme 1 à 2+1, ou comme à , ou comme 2 à 3 +2, & ainfi des autres. En général l'expofant de la puiffance des y étant m, & celui de la puiffance des x étant n, on aura toujours les x" en même raifon & tirant la racine n, les x feront en même raifon que les

3+2

2

m

3

que

les y",

y

m

n

dont l'expofant eft ; ainfi la fomme des x fera au dernier terme

m

m

le nombre des termes comme i à+1 ou comme

n

multiplié par m+n eft à ou comme n à m+n. Venons maintenant à ce

n

que nous nous fommes propofés dans ce Chapitre.

287. Soit une ligne AB (Fig. 193.) divifée en fes Elemens, fi l'on fait fur chacun de ces Elemens, comme une puiffance quelconque de la ligne AB, eft à une femblable puiffance de l'abfciffe AC, ainfi la même puiffance ou un autre du refte CB de la ligne AB eft à une femblable puiffance de l'ordonnée CD, la ligne qui paffera par les extrémités des ordonnées CD, sera une courbe qui partant du point A viendra rejoindre la ligne AB au point B, parce qu'il eft vifible par la conftruction que les ordonnées CD iront d'abord en augmentant, puis en diminuant, & l'on demande de trouver la grandeur de l'efpace que remplif fent ces ordonnées, & fon centre de gravité, ce que nous allons

faire en cette forte.