te.) Cela étant, elle doit paffer par le centre; fi on divife donc cette ligne en deux également au point H; on aura ce qu'on cherche.

PROPOSITION V. & VI.

THEOREM E.

Les Cercles qui fe touchent, non plus que ceux qui fe coupent en dedans, n'ont pas le même centre.

Left bien évident (par la Définition 2.& par la Prop. 1.) que fi deux Cercles fe coupent, leurs circonferences ne feront point paralleles, n'étant point concentriques: cela étant, ils ne peuvent avoir le même centre; pareillement s'ils fe touchent en dedans, leurs circonferences ne feront point paralleles ; or n'étant point paralleles, ils ne peuvent avoir le même

centre.

Nous pafferons les Propofitions 7, & 8.. comme étant peu confiderables..

PROPOSITION IX.

THEOREME

D'un point pris dans un Cercle, qui n'est

le centre, on ne

que

pas
peut tirer deux
lignes égales à la circonference, & il n'y
a que du centre qu'on puiffe en tirer trois..

E dis que du point A on ne peut tirer Fig. 11. que deux lignes égales à la circonference, & pour le prouver, faites que l'angle CBA foit égal à l'angle ABD. Tirez auffi les lignes CA & AD.

Démonftration.

Nous avons deux Triangles qui ont chacun un angle égal par la conftruction. Le côté AB eft commun, & les lignes CB & BD font égales, ayant été tirées du centre B; donc (par la 4.) les bafes CA. & AD feront égales; ainfi voilà deux lignes droites menées du point A à la circonference, qui font égales. Mais qu'on ne puiffe pas mener une troifiéme égale aux deux autres; cela eft évident, car cette ligne approchera, ou s'éloignera plus ou moins du point F, que ne font les lignes CA & AD,ce qui caufera l'iné

Fig. 13.

galité. Il n'y a donc que du centre B d'où l'on puiffe tirer à la circonference plus de deux lignes égales. C. Q_F. D.

PROPOSITION X..

THEOREМЕ.

Si deux Cercles fe coupent, ils ne peuvent se couper qu'en deux points.

J

E fuppofe que les deux Cercles ABDE & FBCE fe coupent l'un l'autre ; cela étant, je dis qu'ils ne fe peuvent couper qu'en deux points. Suppofons neanmoins, s'il eft poffible, qu'ils fe coupent l'un l'autre aux trois points A, B, D; cela pofé, trouvez (par la 4.) le centre H du Cercle ABDE; puis du centre menez - aux trois points où ces Cercles fe coupent, rayons HA, HB & HD.

les

Démonftration.

Le point H étant le centre du Cercle ABDE, les lignes qu'on vient de tirer à fa circonference font égales entr'elles; mais ces trois lignes là vont auffi fe terminer à la circonference du Cercle FBC E; il s'enfuivroit donc que le point H feroit le centre commun de ces deux Cer

cles, puifqu'on a tiré trois égales à leurs circonferences; mais deux Cercles qui fe coupent ne pouvant avoir le même centre;il eft donc impoffible qu'ilspuiffent fe couper à plusdes deux points.C.Q.F.D. Nous pafferons la Propofition 11. n'étant point confiderable.

PROPOSITION XII.

THEOREM E.

Si deux Cercles fe touchent par le dehors, la
ligne tirée par leurs centres pafera par
le point d'attouchement.

E fuppofe que les Cercles ABC, DBE Fig. 15. fe touchent l'un l'autre par dehors au point B, & que du centre de l'un au centre de l'autre, on ait mené la ligne droite FG; cela étant, je dis que cette ligne paffe par leur point d'attouchement. Démonftration.

Pofons donc, s'il eft poffible, qu'elle paffe par les points C&E, & qu'ainfi la ligne FCEG, foit une ligne droite ; cela étant, les deux lignes BF, BG, ne concoureront pas directement, & ainfi feront un angle au point B, & avec la troi

fiéme FCEG, feront un Triangle, dont les deux côtez BF, BG, feront ensemble plus grands que le troifiéme FCEG (par la 20. du 1.) Mais les lignes FC, GÈ font égales à BF, BG ( par la définition du Cercle) donc ces mêmes lignes FC, GE feroient auffi plus grandes que la ligne entiere FCEG, c'eft-à-dire, la partie que le tout, ce qui eft impoffible; il eft donc impoffible que la ligne qui eft menée par les centres F & G, paffe par un autre point que B. C. Q. F. D.

PROPOSITION XIII.

THEOREM E.

Deux Cercles fe touchent seulement dans un point.

Remierement, fi deux Cercles fe touchent en dedans, ils ne fe toucheront qu'en un feul point C, marqué par la ligne BAC, qui paffe par leurs centres A & B; car s'ils fe touchent encore au point D, tirez les lignes AD, BD. Démonftration.

Fig.12. Les lignes AD, AC étant tirées du centre du petit Cercle, font égales, & ajoû