tant AB, les lignes BA, AC, & BA, AD feroient égales or BC, BD étant tirées du centre du grand Cercle, feroient auffi égales; donc les côtez BA, AD feroient égaux au feul côté BD, ce qui eft contrai re à la Propofition 20. du i.

Secondement, fi les deux Cercles fe touchent en dehors, tirant la ligne AB d'un centre à l'autre ; elle paffera par le point Coù les Cercles fe touchent (par la 12.); car fi vous dites qu'ils fe touchent encore au point D, ayant tiré les lignes AD, BD; les lignes BD, BC, AC, AD étant égales, les deux côtez d'un Triangles pris enfemble feroient égaux au troifiéme; ce qui eft contraire à la Propofition 20. du 1.

USAGE.

Les Propofitions précedentes s'entendent pour ainfi dire d'elles-mêmes, je les ai neanmoins voulu démontrer pour accoutumer ceux qui commencent la Geometrie, à ne recevoir pour vrai, que ce qui leur a été prouvé. Quant à l'usage qu'on peut faire de ces trois Propofitions, on peut s'en fervir dans l'Aftronomie, pour expliquer le mouvement des Planettes quand on fe fert d'Erycicles.

PROPOSITION XIV.

THEOREM E.

Les lignes égales tirées dans un Cercle font également éloignées du centre; & celles qui font également éloignées du centre, font égales.

Fig. 18. E dis que fi les lignes AB & CD font

elles

feront égales tirez les lignes EG & EH, qui feront égales par la définition 6. On fçait aufli (par la Propofition 3.) que ces perpendiculaires divifent en deux également les lignes AB & CD, aux points G & H. Tirez les lignes ED & EB qui feront des rayons du Cercle, puifqu'elles font tirées du centre E.

Démonftration.

Je dis premierement, que les Triangles rectangles BGE & EHD ont tous leurs côtez égaux; car on fçait que les lignes BE & ED font égales, auffi bien que les deux autres GE & EH : or les quarrez de ces lignes égales feront égaux entr'eux; & (par la 47. du 1. ) le quarré GE ne pourra valoir le quarré EB, qu'en

Jui

fui ajoutant le quarré GB : pareillement le quarré EH ne pourra valoir le quarré ED ou EB,qu'en lui ajoûtant le quarré H D; mais comme les quarrez des côtez EG & GH font égaux; il s'enfuit que les. quarrez des côtez GB & HD, le feront auffi, étant les moitiez des lignes AB & CD; je conclus que puifqu'ils font égaux, les lignes dont ils font les moitiez font égales.

PROPOSITION XV.

THEOREM E.

De toutes les lignes qu'on peut tirer dans un Cercle, celle qui paffe par le centre eft la. plus grande; & celle qui approche le plus du centre, eft plus grande que celle qui en approche le moins.

Oit donc la ligne DE qui paffe par le Fig.19. centre C, confequent le diametre ; il faut montrer que cette ligne

qui fera

par

eft plus grande que AB; tirez les rayons CA & CB.

Démonftration.

Dans le Triangle ACB, les deux côtez AC & CB pris enfemble, font plus grands

F

que le troifiéme AB (par la 20. du 1.) or comme ces deux côtez AB & AC font égaux à la ligne DE, il s'enfuit que cette ligne DE fera plus grande que AB.

Prefentement confiderez que plus les extrêmitez A & B des rayons AC & CB approcheront de D & de E, plus l'angle ACB fera ouvert; & par confequent le côté AB deviendra plus grand, étant oppofé à un angle plus ouvert; donc plus une ligne approche du centre,plus elle excede fur une autre qui en eft plus éloignée.

USAGE.

Cette Propofition peut fervir confiderablement pour connoître le rapport des Cercles paralleles qui font décrits fur une sphere, & trouver combien ceux qui font renfermez entre le Pole & l'Equateur, font plus petits que celui qui a pour diametre celui de la Sphere.

PROPOSITION

THEOREM E.

XV I.

Une ligne perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon, touche le Cercle, & ne le touche qu'à un feul point.

Je

E dis que fi la ligne BD eft perpendi- Fig. culaire fur le rayon BK, elle ne touchera le Cercle qu'au feul point B.

Démonftration.

Pour démontrer que la ligne BD, ne peut toucher le Cercle à un fecond point C; je mene une ligne de K en C; aprés quoi je dis que le point C de la touchante ne peut toucher le Cercle : car pour démontrer qu'il le touche, il faudroit faire que les lignes BK & KC foient égales; ce qui ne peut être : car ( par la 47. du 1.) le Triangle CBK étant rectangle en B, le quarré BK fera toûjours plus petit que le quarré de l'hypotenufe KC,& par confequent la ligne KC fera plus grande que le rayon BK. Ce qui fait voir que le point Ceft au de là dela circonference; & que a ligne BD ne touche le Cercle qu'au seul point B. C. Q. F. D.