Les Demandes, ou Suppofitions.

1. On fuppofe qu'on peut tirer une ligne droite, de quelque point que ce soit,

un autre.

2. Qu'on peut continuer une ligne droite, autant que l'on voudra.

3. Qu'on peut d'un centre donné, décire un Cercle à quelque ouverture de compas que ce foit.

Les Maximes, on Axiomes.

1. Les quantitez qui font égales à une troifiéme, font égales entre elles.

2. Si on ajoûte des quantitez égales à d'autres quantitez auffi égales, celles qui en feront produites feront égales.

3. Si on retranche de deux quantitez égales, deux autres quantitez auffi égales, celles qui refteront feront égales.

4. Si on ajoute des parties égales à des quantitez inégales, les compofées demeuront inégales.

5. Si des quantitez égales on en retranche des parties inégales, celles qui refteront feront inégales.

6. Les quantitez qui font doubles, triples, quadruples d'une même quantité, font égales entre-elles.

Les quantitez font égales, lorfqu'étant ajuftées l'une fur l'autre, elle ne fe furpaffent point.

Pl. 1.

8. Les lignes & les angles égaux, étant mis l'un fur l'autre, ne fe furpaffent pas. 9. Le tout eft plus grand que fa partie. 10. Tous les angles droits font égaux

entr'eux.

L'onzième Maxime d'Euclide porte Fig 16. que, fi les lignes AB, CD, forment avec la ligne EF, qui les coupe toutes deux, des angles internes BEF, DFE, plus petits que deux droits, ces lignes AB, CD étant prolongées, fe rencontreront vers B & D.

Pl. I.

Quoique cette Maxime foit véritable, elle n'est pas affez cluire pour être reçûë pour Maxime ainfi j'en fubftiuë une autre en fa place.

:

11. Si deux lignes font paralleles, toutes les perpendiculaires renfermées entreelles feront égales.

Comme, fi les lignes AB, CD font paFig.17 ralleles, les lignes perpendiculaires FE, HG, font égales. Car fi EF étoit plus grande que GH; les lignes AB, & CD feroient plus éloignées entre elles vers les points E & F, que vers G, & H : ce qui feroit contre la définition des paralleles laquelle porte, qu'elles ont par tout la même distance, mefurée par des perpendicu

Lures.

12. Deux lignes droites, ne compren

nent pas une efpace: c'est-à-dire, ne l'enferment, & ne l'entourent pas de tous côtez.

13. Deux lignes droites, n'ont pas un pl. 16 fegment commun: Je veux dire que des Fig. 18° deux lignes droites AB, CB qui fe ren contrent au point B, il ne fe fait pas une feule ligne BD; mais qu'elles fe coupent &fe féparent aprés s'être rencontrées en B. Car fi on décrit un Cercle du point B comme centre, AFD feroit un demi Cercle, puifgne la ligne droite ABD, paffant par le centre B, divife le Cercle en deux égale ment. Le fegment CFD feroit aussi un demi Cercle, puifque CBD feroit auffi une Ligne droite qui pafferoit par le centre B: Donc le fgment CFD feroit égal au segment AFD, la partie à fon tout; ce qui feroit contraire à la neuvième Maxime.

AVERTISSEMENT.

Nous avons deux fortes de Propofitions: quelques-unes ne font que confiderir une verité, fans defcendre à la pratique ; & nous Les appellons Theorêmes. Les autres nous propofent quelque chose à faire ; & on les appede Problemes.

Le premier nombre des citations, eft celui de la Propofition: Le fecond marque le Livre. Comme par la 2. du 3. fign fie, par la Leconde Propofition du troifiéme Livre. Que

fi on ne rencontre qu'un nombre, il fignifie la Propofition du Livre que l'on explique.

PROPOSITION I.

PROBLEME.

Tracer un Triangle équilateral fur une ligne donnée.

Q

U'on propofe la ligne AB pour bafe d'un Triangle équilateral. Décri vez du centre A, à l'intervalle AB, le Cercle BCD: décrivez auffi du centre B, à l'intervale BA, le Cercle DAC, qui coupe le premier au point C. Tirez enfuite les lignes AC, BC. Je dis que tous les côtez du Triangle ABC font égaux. Démonftration,

Pl. 1. Les lignes AB, AC, tirées du même Fig.19. centre A, à la circonference du Cercle B

CD, font égales par la définition du Cercle : les lignes BA, BC font auffi égales, puifqu'elles font tirées du centre B, à la circonference du Cercle CAD : enfin les lignes AC, BC étant égales à la même ligne AB, font auffi égales entre-elles par premier Axiome. Donc les trois côtez du Triangle ABC font égaux..

le

USAGE.

من

On peut fe fervir trés-utilement du Trian- Pl. 20 Fig.2.0. gle équilateral pour trouver une distance inac effible, telle que la largeur d'une Riviere. Il faudroit pour cela décrire un Triangle équilateral fur une planche, & s'en fervir en cette forte: le Triangle BDE étant pofé horisontalement, obfervez un point A au de la de la Riviere, par le côte BD, quelque autre point C, par le côté BE: Transportez votre Triangle le long de la ligne. BE,& faites en forte de pouvoir le placer dans un endroit, où vous puissiez le long des côtez GC & GF, voir les points A & B. Fe fuppofe qu'on y foit parvenu, የሎ que point C foit celui qu'on cherche; cela étant on aura le Triangle équilateral ABC, dont le côté BC peut fe connoître. On peut auffi connoître la diftance DF, qui étant parallele à BC peut paẞer par la base du Triangle équilateral DAF, lequel étant rapporté Sur le papier par le moyen d'une Echelle, peut trouver la perpendiculaire AN, qu eft la diftance qu'on cherche.

le

on