PI.. Fig 12.

PROPOSITION, IX.

PROBLEME.

Décrire un Cercle autour d'un quarré.

Our décrire un Cercle autour d'um quarré ABFD; tirez les diagonales AF, BD, qui fe coupent au point E. Ce point E fera le centre du Cercle, qui pafTera par les points A,F, B, D. Je dois donc démontrer que les lignes AE, FE, BE,DE font égales.

Démonftration.

Les côtez AB, FB font égaux, & l'an-gle B eft droit: donc les angles FAB,BF A font égaux (par la s. du 1.) & demidroits, (par la 32. du 1.) Je démontre de la même façon, que les angles ABD,ADB, FDB, DBF, font demi-droits, ainfi le Triangle AEB, ayant les angles EAB, EBAdemi-droits & par confequent égaux, il aura auffi (par là 6. du 1.) les côtez AE, EB égaux. On démontre de même que les lignes EF, EB; EF, ED font égales.

USAG FOR

Naus montrons dans le douzième Livre

que les Polygones décrits dans le Cercle, dégenerent en Cercle; & que comme ces Polyapnes font toujours en raison doublée de leurs diametres,les Cercles le font auffi. Nous avons befoin dans la Geometrie pratique, d'inferire le quarré, & les autres Polygones, dedans. autour d'un Cercle, pour réduire le Cercle au quarré.

PROPOSITION X

PROBLEM 1.

Décrire un Triangle Ifocele qui ait les angles fur la bafe, chacun double du troisième.

P

Our décrire le Triangle focele AB Pl.. D qui ait chacun des angles ABD, A Fig. 1ỗ, DB, double de l'angle A; divifez la ligne AB, (par la 11. du 2.) de forte que le quarré de AC foit égal au rectangle AD, BC. Décrivez du centre A, à l'ouverture AB, un Cercle BD, dans lequel vous infcrirez BD égale à AC. Tirez la ligne DC, & décrivez un Cercle autour du Triangle ACD, (par la s. ).

Démonftration.

Puifque le quarré de CA, ou BD, eft égal au rectangle compris fous AB, BC;

la ligne BD touchera le Cercle ACD, ati point D, (par la 37, du 3.) Donc l'angle BDC fera égal à l'angle A, compris dans le fegment alterne CAD, (par la 32 du 3.) Or l'angle BCD exterieur eu égard au Triangle ACD, eft égal aux angles A & CDA: donc l'angle BCD eft égal à l'angle ADB. De plus l'angle ADB,eft égal à l'angle ABD (par la 5. du 1.) donc les angles DCB, DBC font égaux, & ( par la 6. du 1.) les côtez BD, DC feront égaux. Et puifque BD eft égal à AC; les côtez AC, CD feront égaux, & les angles A & CDA le feront auf. Donc l'angle ADB eft double de l'angle A.

USAGE.

Ce Problème fert pour le fuivant, c'està-dire, pour infcrire un Pentagone régulier dans un Cercle, où l'on vois que pour y inf crire un Eptagone régulier, il faudroit y inf crire un Triangle Ifocele, où chacun des deux angles à la base für triple de l'angle au fommet: mais ce Problême étant folide, il ne peut pas être refolu par le Cercle & par la Ligne droite feulement, & c'est à cause de cela. qu'Euclide n'en a point parli.

(၁၁)

PROPOSITION XI.

PROBLEM. B.

Intrire un Pentagone régulier dans un
Cercle.

P

Our infcrire un Pentagone régulier Pl. 1. dans un Cercle,décrivez (par la 18.) Fig 14 un Triangle Ifocele ABC, qui ait les an- & 15. gles ABC, ACB fur la bafe, chacun double de l'angle A. Infcrivez (par la 2.). dans le Cercle, un Triangle DEF équiangle au Triangle ABC: divifez en deux. également les angles DEF, DFE, tirant les lignes EG, FH. Enfin, joignez les lignes DH, DG, GF, EH: & vous aurez décrit un Pentagone régulier,c'eft-à-dire,. qui a tous les côtez égaux, auffi-bien tous les angles.

Démonftration.

que

Les angles DEG, GEF, DFH, HFE, font les moitiez des angles DEF, DFE, qui font chacun double de l'angle A:donc ils font tous égaux à l'angle A: & par confequent les cinq arcs, qui leur fervent de bafe, font égaux (par la 26. du 3.) & les lignes HD, HE, EF, FG, GD font éga

lès (par la 29. du 3.) Secondement, les angles DGF,GFE, ayant chacun pour bafe, trois de ces arcs égaux, feront auffi égaux. Donc les côtez, & les angles de ce Pentagone font égaux.

SCOLI 2.

On trouve dans la conftruction des Tables de Sinus de M. Ozanam, une autre methode plus facile pour infcrire un Pentagone régulier dans un Cercle, & auffi un Decagone régulier, de laquelle on tire la ma niere de trouver en nombres les Sinus des arcs de 18 de 36 degrez.

PROPOSITION XIL

PROBLEME.

Décrire un Pentagone régulier autour d'un ·
Cercle.

Nfcrivez un Pentagone régulier ABC

Fig.16. I DE dans le Cercle (par la précedente)

tirant des Tangentes par les points A, B,C, D, E, (par la 17. du 3) vous aurez décrit un Pentagone régulier autour du Cercle. Tirez les lignes FA, FG, FE, FH, FD.