1 PROPOSITION VI. THEOREME. Si un Triangle à deux angles égaux entr'- ; E suppose que le Triangle ABC a les Fig. 16. deux angles B & Cégaux, cela étant, je dis que les côtez AB, AC qui soutiennent ces deux angles sont aussi égaux. Demonstration. Pour faire voir que le côté AB est égal au côté AC, fi les angles B & C font égaux. Supposons pour un inftant qu'ils font inégaux; retranchez du côté AB que je suppose être plus grand que AC, la partie BD égale à ce même côté AC; tirez la ligne CD: ensuite comparez le Triangle DBC avec le Triangle ABC, le côté DB du premier Triangle, est égal au côté AC du second par supposition. Or le côté BC est commun aux deux Triangles; de plus l'angle B compris entre ces deux côtez DB & BC, est égal à l'angle ACB compris des deux côtez AC & CB; donc (par la 4.) les Trian Eig. 28. gles DBC & ABC feroient égaux; mais cela ne peut être fans absurdité, dautant que ce seroit faire voir que la partie est aussi grande que le tout; il est donc impoffible que le côté AB soit plus grand que le côté AC. On prouvera de même que le côté AC ne sçauroit être plus grand que le côté AB; ainsi les deux côtez AB, AC font donc égaux entr'eux. C. Q. F. D. J'ai démontré cette Proposition de même qu'elle est démontrée danslesOeuvres Pofthumes de Mr Rohaul, m'ayant paruë plus convaincante, que celles qui se trouvent dans les anciennes Editions de ce Livre. USAGE. On peut se fervir trés utilement de cette Proposition pour mesurer l'elevation d'une Tour, ou d'une Obelisque; ainsi si l'on vouloit sçavoir l'elevation de l'Obelisque AB, il fandroit attendre que le Soleil fût élevé de 45. degrez sur l'horizon; pour avoir l'ombre CB, égale à la hauteur AB, car nous verrons par la suite qu'au Triangle rectan gle, tel que ABC, si l'angle C est de 45. degrez, l'angle A sera aussi de 45 par conSequent le Triangle sera Ifocele; c'est-à-dire, que la hauteur ABsera égale à la longueur de l'ombre CB, laquelle étant connuë on aura ce qu'on cherche. Nous ometrons la Proposition septième, comme n'étant d'aucun usage. PROPOSITION VIII. THEOREME. Si deux Triangles ont tous les côtez égaux, leurs angles compris par ces côtez égaux. feront aussi égaux entr'eux. Es Triangles ABC & DEF font fup- Fig. 29. L posez avoir leurs côtez égaux les un aux autres, c'est-à-dire, que AB, égale àDE, ACà DF, & BC à EF. Cela étant je dis que l'angle A fera égal à l'angle D, BàE, Cà F. Démonstration. Cette Proposition peut se démontrer très-aisément, de même que la quatriéme. Car imaginez vous que le premier Triangle a été posé sur le fecond; cela étant leurs côtez ayant été supposez égaux, les extrêmitez des côtez de l'un viendront aboutir sur les extrêmitez des côtez de l'autre, les trois points ABC, ne faisant qu'un avec les trois points DEF, il est aisé de voir que les angles formez par les côtez égaux, font égaux. C. Q F. D. Fig.30. PROPOSITION IX. Diviser un angle en deux également. U'on propose à diviser en deux également l'angle SRT. Coupez deux lignes égales RS, TR, metrant le pied du Compas en R, & à quelque ouverture de compas que ce soit décrivant l'arc ST, tirez la ligne ST, & décrivez par la premiere Proposition, le Triangle équilateral SVT. Je dis que la ligne RV, divise l'angle SRT en deux également; c'est-à-dire, que les angles VRT, VRS font égaux. Démonstration. Les Triangles VRS, VRT, ont le coté VR commun; le coté RT a été pris égal au coté RS: la base SV, est égale à VT, puisque le Triangle SVT est équilareral. Donc (par la 8.) les angles SRV, TRV font égaux. USAGE. Il est nécessaire de se servir de cette Propofition dans les Problêmes suivons, on s'en sert encore dans la plupart des reductions qu'on fait fait des figures. Il seroit à souhaiter qu'on pût diviser un angleen trois, en cing parties égales aussi aisément qu'en quatre, en 8, ou en 16: mais ceci est d'une Geométrie diff rente; c'est-à-dire, que cela ne se peut faire que par le moyen des courbes, c'est-à-dire, des fections coniques. On trouvera cependant dans le beau Dictionnaire de Mathematique de Mr Ozanam, au lieu où il traite de la Geométrie Speculaire, une courbe propre à diviser un angle en trois, en cinq également, qu'il dit être de l'invention de M. Tschirnhaus; cette courbe est très-commode, & on peut s'en servir aisément. PROPOSITION Χ. Diviser une ligne en deux également. N propose de diviser la ligne AB, Fig.3 en deux parties égales, pour cela il ne faut que faire un Triangle équilateral ACB, & diviser (par le Prob. préced.) l'angle Cen doux également, par la ligne EC; le point & ou cette ligne coupe AB, est le point du milieu qu'on cherche, ce qui est bien évident, car le B |