Fig 32.

Triangle ACE eft égal au Triangle ECB,
puifqu'ils ont chacun un angle égal, qui
eft la moitié de celui qu'on vient de di-
vifer, le côté EC leur eft commun,
les côtez AC, CB font égaux, donc ( par
la 4.) les bafes AE & EB font égales.

PROPOSITION XI.

PROBLEM E.

D'un point pris fur une ligne élever une perpendiculaire.

&

Oit la ligne donnée BC, & le point donné A, il faut de part & d'autre, de ce point donné,prendre les parties égales AB & AC; puis ayant ouvert un Compas d'une grandeur volontaire, du point C comme centre décrivez l'arc D, du point B avec la même ouverture de Compas, décrivez-en un fecond qui aille couper le premier, du point A au point de lection D, tirez la ligne AD, elle fera perpendiculaire fur DC.

Démonftration.

Nous avons les deux Triangles égaux DAB & DAC, car leurs côtez font égaux par la conftruction: Donc ( par la 8.)

l'angle DAB & DAĆ font égaux, & par conféquent droits, ce qui prouve que la ligne AD eft perpendiculaire.

PROPOSITION XII.

PROBLEME.

Tirer une perpendiculaire à une ligne par un point hors de la même ligne.

L ne faut que du point A comme Fig 33. centre; décrire l'arc BC, ayant divifé la partie BC en deux également au point E, la ligne tirée de A en E fera perpendiculaire, ce qui eft aifé de démontrer; car les rayons AB, AC étant égaux auffi bien que les côtez BE, EC; la ligne AE étant commune, on connoîtra comme dans le Problême précedent, que la ligne AE eft perpendiculaire, puifqu'elle fait deux angles droits avec la ligne BC.

Fig. 4.

PROPOSITION XIII

THEOREM E.

Une ligne qui tombe fur une autre, fait avec elle deux angles droits, ou deux angles, lefquels pris ensemble font égaux à

S

deux droits.

I la ligne AD tombe perpendiculai ment fur BC, les anglès ADC & ADB feront droits (par la Définition 11.) Fig. 35. mais fi, par exemple, la ligne AD, au lieu d'être perpendiculaire étoit oblique, on auroit un angle aigu, & un angle obtus, lefquels pris enfemble vaudront deux droits; car fi du point D comme centre vous décivez un demi Cercle, l'arc FC fera la mesure de l'angle obtus, & l'arc BF fera la mefure de l'angle aigu; & comme ces deux arcs pris enfemble valent le demi Cercle, & que le demi Cercle eft la mesure de deux angles droits; il s'enfuit qu'une ligne qui tombe fur une autre fait deux angles droits, ou deux angles qui leur font égaux.

USAGE.

Quand nous connoiffons un des deux an- Fig 36. gle, qu'une ligne fait en tombant fur une autre, il eft facile de connoître l'autre : car, par exemple, fi je connois l'angle EADde so. degrez, je n'ai qu'à les fouftraire de 180, qui eft la valeur de deux angles droits, il reftera 130 pour la valeur de l'angle ohins EAC.

J'obmettrai la Propofition 14. comme étant pen confiderable. Je pourrai faire de méne à l'égard de plufieurs autres, pour ne m'attacher uniquement qu'à celles dont on ne peut Le paffer.

PROPOSITION XV.

THEOREME.

Si deux lignes droites fe coupent, les angles opposez au sommet sont égaux.

Oit les deux lignes AB & DC qui Fig. 38. fe coupent au point E. Je dis que l'angle AED, eft égal à l'angle CEB.

Démonftration.

4

Si l'on confidere que la ligne AE, en tombant fur DC, fait avec elle les augles AED & AEC égaux à deux droits

(par la 13.) pareillement la ligne CE tombant fur AB, fait avec elle les angles BEC & AEC qui valent deux droits. Cela étant on peut remarquer que l'angle AEC eft commun à cette valeur de deux droits; ainfi fi on l'ôre des uns, & des autres, il reftera l'angle CEB, égal à l'angle AED. C. Q. F. D.

USAGE.

Cette Propofition est très-confiderable s elle fert principalement pour démontrer Es 27 pour l'appliquer à la pratique, foit, par exemple, l'angle AEC que l'on ne peutmesurer avec un instrument,parce que je fupFig. 20, pose que c'est un Mur, ou tout autre corps folide qu'on ne peut parcourir, il faut prolonger les côtez AE & CE a volonté vers: D&B, je veux dire qu'il faut fe mettre fur l'alignement de fes côtez, pour avoir le Triangle BDE, qui fe fait auffi petit, &auffi grand que l'on veut. Cela étant fait, pour il faut en mesurer les côtez. les rapPorier fur le Papier. pour faire un Triang'e femblable, par lequel on pourra connoîtè l'angle E qu'on cherche.