LIVRE DOUZIEME,

E

DES ELEMENS

D'EUCLIDE.

Velide, après avoir donné dans les Livres précedens, les principes géneraux des corps folides, & expliqué la façon de mesurer les plus réguliers, c'est-à dire, ceux qui font termine par des furfaces plates ; traite dans celui-ci des corps renfermez dans des furfaces courbes comme font le Cylindre, le Cone, & la Sphere, & les comparant l'un avec l'autre, il donne les regies de leur foli dité, & la façon de les mesurer. Ce Livre eft fort utile, puifque nous y trouvons des principes fur lesquels les plus fçavans Geometres ont établi tant de belles démonstrations du Cylindre, du Cone, & de la Sphere.

PROPOSITION 1.

THEOREM E.

Les polygones femblables, infcrits dans des Cercles, font en même raison que les quarrez des diametres des mêmes Cercles.

I les polygones ABCDE, FGHKL in- Pl. 1. fcrits dans des Cercles, font fembla- Fig. 1 bles; ils feront en même raifon que les & 2 quarrez des diametres AM, FN. Tirez les lignes BM, GN, FH, AC.

Démonftration.

On fuppofe que les polygones font femblables, c'eft-à-dire, que les angles B & G font égaux; & qu'il y a même raison de AB à BC, que de FG à GH: d'où je conclus ( par la 6. du 6 ) la 6. du 6 ) que les Triangles ABC, FGH font équiangles, & que les angles ACB, FHG font égaux : ainsi (par la 21. du 3.) les angles AMB, FNG font auffi égaux. Or les angles ABM, FGN étant dans un demi Cercle, font droits (par la 31. du 3.) & par confequent les Triangles ABM, FGN font équiangles." Donc (par la 4. du 6.) il y aura même raifon de AB à FG,que de AM à FN (par

Pl. 1. Fig. 3.

4. & S.

la 22. du 6. J fi on décrit deux polygones femblables fur AB & FG, qui font ceux qu'on a propofez; & deux autres auffi femblables fur AM & FN,qui feront leurs quarrez: il y aura même raifon du polygone ABCDE au polygone FGHKL,que du quarré de AM au quarré de FN

L-E M M E.

Si une quantité eft plus petite qu'un Cercle, on pourra infcrire dans le même Cercle un polygone régulier plus grand que cette quantité.

Q

le

Ue la figure A foit plus petite que Cercle B; on pourra infcrire dans le même Cercle, un polygone régulier plus grand que la figure A. Que la figure G foit la diffe rence de la figure A, & du Cercle B, de for te que les figures A& G prifes ensemble foient égales au Cercle B. Infcrivez dans le Cercle B, le quarré CDEF (parla 6. du 4.) fi ce quarré étoit plus grand que la figure A, nous aurions ce que nous prétendons. S'il eft plus petit, divifez les quarts de Cercle CD, DE, EF, FC, en deux également par les points H,1, K, L, de forte que vous ayez un octogone. Que fi l'octogone eft encore plus petit que la figure A, fondivifez les arcs,

Dvous

vous aurez un polygone de feize côtez puis de trente-deux, de foixante-quatre. Je dis qu'enfin vous aurez un polygone plus grand que la figure A c'est-à-dire, un polygone moins different du Cercle, que n'eft la figure A; de forte que la difference fera moindre que la figure G.

Démonftration.

Le quarré infcrit eft plus de la moitié du Cercle, étant la moitié du quarré décrit autour du Cercle; & en décrivant l'octogone, vous prenez plus de la moitié du reste, c'està-dire, des quatre fegmens CHD; DIE EKF, CLF: Car le Triangle CHD, eft la moitié du rectangle CO ( par la 34. du 1.) il est donc plus de la moitié du fegment CHD, il en eft de même des autres arcs. Pareillement en décrivant un polygone de feize côtez, vous prenez plus de la moitié de ce qui reftoit du Cercle, & ainfi de tous les autres. Vous laifferez donc enfin une plus petite quantité que G: Car il est évident qu'ayant propofé deux quantitez inégales, fi vous prenez plus de la moitié de la plus grande: & enfuite plus de la moitié de ce qui refte; & encore, plus de la moitié de celle qui refte ; enfin ce qui restera fera moindre que la feconde quantité.

Pl.

I.

Fig. 6.

PROPOSITION II.

THEOREME.

Les fuperficies des Cercles font en même raifon que les quarrez de leurs diametres.

E démontre que les Cercles A & B font en même raifon que les quarrez de CD 7.& 8. EF. Car s'ils n'étoient pas en mêmeraison, le Cercle A auroit plus grande raison au Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF. Que la figure G ait même raison au Cercle B,que le quarré de CD au quarré de EF: la figure G, fera plus petite que le Cercle A; & par le Lemme précedent, on pourra infcrire un polygone régulier plus grand que G dans le Cercle A. Qu'on infcrive auffi dans le Cercle B, ́un femblable polygone régulier.

Demonftration.

Le polygone de A au polygone de B, a même raifon, que le quarré de CD au quarré de EF, (par la 1.) c'est à-dire, la même que Gau Cercle B: Or la quantité G eft plus petite que le polygone infcrit. dans A:ainfi (par la 14. du 5.) le Cercle B feroit plus petit que le polygone qui y eft