infcrit, ce qui eft évidemment faux. II faut donc dire que la figure G moindre que le Cercle A, ne peut pas avoir même raifon an Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF: & par confequent, que le Cercle A n'a pas plus grande raison au Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF. Il ne l'a pas auffi plus petite, par-ce que le Cercle B au Cercle A, auroit plus grande raifon ; & on lui appliqueroit la même démonstration.

Corollaire 1. Les Cercles font en raison doublée de celle de leurs diametres; parce que les quarrez étant des figures femblables, font en raifon doublée de celle de leurs côtez (par la 20. du 6.)

Corol. 2. Les Cercles font en même raifon, que les polygones femblables qui y font infcrits.

Corol. 3. Il faut bien remarquer cette regle generale: Quand des figures femblables, infcrites dans d'autres; de telle forte qu'elles s'en approchent toûjours davantage, & qu'elles dégenerent enfin en ces figures, font toûjours en même raifon : les figures qui les comprennent, font auffi en même raison. Je veux dire que fi de femblables polygones réguliers infcrits dans divers Cercles, font toûjours en même raifon que les quarrez des diametres; &

que les faifant de plus de côtez, ils s'en approchent toûjours davantage : les Cercles auront même raison que les quarrez des diametres. Cette façon de mesurer les

corps ronds par infcription eft trés-utile.

USAGE.

Cette Propofition, eft fort universelle, & fait que nous raifonnons des Cercles, de même façon que des quarrez. Par exemple, nous difons (dans la 47. du 1.) que dans un Triangle rectangle le feul quarré de la base eft égal aux quarrez des côtez pris enfemble. Nous pouvons dire le même des Cercles; c'està-dire, que le Cercle décrit fur la base d'un Triangle rectangle, eft égal aux Cercles qui ont les côtez pour diametres: & de cette forte, nous pouvons augmenter ou diminuer les Circles felon la proportion que nous voulons. Nous prouvons auffi dans l'Optique, que la lumiere décroift en raison doublée de celle des diftances des corps lumineux.

PROPOSITION III.

THEOREM E.

Toute pyramide qui a la bife triangulaire peut être divifée en deux prifmes égaux, qui font plus de la moitié de la pyramide, &en deux pyramides égales.

N

peut trouver dans la pyramide Pl. 1. ABCD deux prifmes égaux EBFI, Fig. 9. EHKD qui feront plus grands que la moitié de la pyramide. Divifez les fix côrez de la pyramide en deux également en G, F, E, I, H, K; & tirez les lignes EG, GF,FE, EI, HI, FH, IK, EK.

Démonftration.

Dans le Triangle ABD, il y a même raifon de AG à GB,que de AF à FD;puifque les lignes font égales : donc (par la 2. du 6.) GF, BD font paralleles; & GF fera la moitié de BD, c'est-à-dire, égale à BH. Pareillement GE, BI; FE, HI feront paralleles & égales : & ( par la 15. du 11.) les plans GFE, BHI feront paralleles, & par confequent EBFI sera un prisme. J'en dis de même de la figure HEKD, laquelle fera auffi un prifme égal à l'autre (par la

40. du 11.) puifque la bafe parallelograme HIKD, eft double de la triangulaire BHI (par la 41. du 1.)

En fecond lieu, les pyramides AEFG, ECKI font femblables & égales..

Démonftration.

Les Triangles AFG, AEF font égaux (par la 8. du 1.) comme auffi ECK, EIK: pareillement les Triangles AGE, EIC, & ainfi des autres Triangles des pyramides: elles font donc égales ( par la défin. 10. du 11.) Elles font encore femblables à la grande pyramide AB, DC; car les Triangles ABC, AGE font femblables ( par la 2. du 6.) les lignes GE, BC étant paralleles; ce que je puis démontrer de tous les autres Triangles des petites pyramides.

Enfin je dis que les prifmes font plus de la moitié de la premiere pyramide. Car fi chacun étoit égal à une des petites pyramides, les deux prifmes feroient la moitié de la grande pyramide. Or ils font chacun plus grands qu'une des pyramides,comme le prifme GHE, contient une pyramide GBHI, qui n'en eft que partie; & cette pyramide eft égale & femblable aux autres, ayant tous fes Triangles égaux & femblables à ceux de la pyramide BCFE, comme l'on peut facilement prouver par le paralleline de leurs côtez: d'où je

conclus que les deux prifmes pris enfemble, font plus grands que les deux pyramides,& par confequent font plus grand que la moitié de la grande pyramide.

PROPOSITION IV.

THEOREM E.

Si on divife deux pyramides triangulaires de même hauteur, en deux prifmes, & deux pyramides, & que ces deux pyramides foient foudivifées de la même façon : tous les prifmes d'une pyramide auront même raifon à tous ceux de l'autre, que la bafe d'une pyramide à la base de l'autre.

l'on divife les deux pyramides ABC Pl. 1. D, DEFG de même hauteur, & de fig. 10, bafe triangulaire, en deux prifmes, & en & 11. deux pyramides, felon la methode de la Propofition III; & fi on foûdivife de lá même façon les deux petites pyramides; & ainfi confecutivement,de forte qu'ayant fait autant de divifions dans l'une que dans l'autre, on ait le même nombre de prifmes. Je dis que tous les prifmes de l'une, à tous les prifmes de l'autre, auront même raifon que les bafes.