AFEC, qui a la même base ACE, que le prifme; & la même hauteur, qui feroit la perpendiculaire tirée du point F, au plan de la base ACE;eft la troifiéme partie du même. Si le prifme étoit polygone; il le faudroit diviser en plufieurs prifmes triangulaires : & la pyramide qui auroit la même bafe, & la même hauteur, feroit auffi divifée en autant de pyramides triangulaires;chacune defquelles feroit la troifiéme partie de fon prifme. Donc (par la 12. du s.) la pyramide polygone fera la. troifiéme partie du prifme polygone.

SCOLI E.

On auroit pû omettre les fix Propofitions précedentes, parce qu'elles femblent ne fervir. que pour celle-ci, laquelle fe peut démontrer immediatement & très-facilement, par le Theorême IV.de la Planimetrie de Monfieur Ozanam.

PROPOSITION VIIL:

THEOREM E..

Les pyramides femblables, font en raison triplée ou comme les cubes de leurs côtez homologues.

Speut

I les pyramides font triangulaires, on achever les prifmnes, qui feront

pout

auffi femblables, puifqu'ils auront les mêmes bafes que les pyramides. Or les prifmes femblables font en raifon triplée des côtez homologues (par la 39. du 11.) Donc les pyramides qui en font les troifiémes parties (par la préced.) feront en raifon triplée des côtez homologues.

Si les pyramides font polygones on les peut réduire à despyramides triangulaires.

PROPOSITION IX..

THEOREM E.

Les pyramides égales ont les hauteurs & Les bafes réciproques; & celles qui ont· les hauteurs & les bafes réciproques, font égales.

U'ON propofe deux pyramides triangulaires égales; elles auront les bafes & les hauteurs réciproques. Qu'on faffe des prifmes de même hauteur & de même bafe; puifque ces prifmes font triples, chacun de fa pyramide ( par la 7.) ils feront auffi égaux. Or les prifmes égaux, ont les bafes & les hauteurs réciproques (par le 4. Corol. de la 39. du 11.) Donc les bafes & les hauteurs des pyramides, qui

font les mêmes que celles des primes leur font réciproques.

Secondement, files bafes & les hauteurs des pyramides font réciproques, les prif mes feront égaux: comme auffi les pyramides, qui en font les troifiémes parties. Si les pyramides étoient polygones, il les faudroit réduire en polygones triangulaires.

Corollaire. On pouroit faire d'autres Propofitions; par exemple, que les pyramides de même hauteur, font en même raifon que leurs bafes & que celles qui ont mêmes bafes, ont même raifon que leurs hauteurs.

USAGE.

On tire de ces Propofitions la façon de mefurer une pyramide; qui eft de multiplier fa. bafe par la troisième partie de fa hauteur. On peut enfuite faire cette autre Propofition.. Que fi un prifme est égal à une pyramide les bafes & la hauteur du prifme avec la· troifiéme partie de la hauteur de la Pyra mide feront réciproques : c'est-à-dire, s'il y a même raifon de la pyramide à la base du prifme, que de la hauteur du prifme à la troifiéme partie de la hauteur de la pyramide, le prifme & la pyramide feront égaux..

Pl. 1. Fig. 18.

& 19.

LEMME.

Si on propofe une quantité plus petite qu'un Cylindre,on pourra infcrire dans le Cylindre un prifme polygone, plus grand que cette quantité..

S

I la quantité A eft plus petite, que le Cy lindre qui a le Cercle B pour bafe; on: pourra infcrire dans ce Cylindre un prisme polygone plus grand que la quantité A. Le· quarré CDEF eft infcrit, GHIK eft circon- · ferit, CLDEMFNO est un octogone. Tirez. la Tangente PLq, & continmez les côtez ED, FC en P & q: imaginez-vous `autant de prifmes de même hauteur que le Cylindre, qui ont pour bafes ces polygones. Celui qui a pour bafe le quarré circonfcrits entoure le Cylindre; & celui qui eft fur le quarrė inforit, eft auffi infcrit dans le Cylindre... Démonftration..

Les prifmes de même hauteur, font en même raison que leurs bafes (par le 3. Corol. de la 39. du 11.) & le quarré infcrit étant la moitié du circonfcrit, fon prifme fera la moitié de l'autre il fera donc plus de la moitié du Cylindre. Faisant un prisme qui ait l'octogone pour base, on ôte plus de la moitié

:

de ce qui reste du Cylindre, ayant ôté le prif me du quarré infcrit parce que le Triangle CLD eft la moitié du rectangle C q:& puifque les prifmes de même hauteur font en même raifon que leurs bafes, le prisme qui a pour bafe le Triangle CLD, fera la moitié du prifme du rectangle DCPq; il fera donc plus de la moitié de la partie du Cylindre qui a pour bafe le fegment DLC. Il en eft de mêmedes autres fegmens. Je démontre de la même façon que faisant un prisme polygone de Seize côtez, j'ore plus de la moitié de ce qui refte du Cylindre,ayant ôté le prifme octogones ainfi il restera une partie du Cylindre plus petite, que l'excez du Cylindre par deffus la quantité A. Nous aurons donc un prisme inferit dans le Cylindre, qui fera moins furpaffe par le Cylindre, que la quantité A; c'està-dire, qui fera plus grand que la quantité A.. On peut raifonner de la même façon touchant les pyramides infcrites dans un Cone.