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HUIT LIVRES

DES ELEMENS

D'EUCLIDE.

Avec 1 Ufage des Propofitions.

LIVRE PREMIER.

E deffein d'Euclide dans ce Livre eft, de donner les premiers principes de la Geometrie; & pour le faire avec methode, il commence par les Définitions, & par l'explication des Termes les plus ordinaires. Il fait enfuite quelques fuppofitions: Et ayant propofé quelques Maximes que la raison naturelle nous enfeigne, il prétend ne rien. avancer fans démonftration, mais convaincre une perfonne qui ne voudroit rien accorder, que ce qu'on l'obligeroit d'avoüer. Dans les premieres Propofitions il traite des Li gnes & des divers Angles qui fe forment à

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leur rencontre & ayant befoin pour en démontrer les proprietez, de comparer quelques Triangles, il le fait dans les huit premieres Propofitions. Il donne enfuite quelques pratiques pour divifer un angle, & une ligne en deux également, & pour tirer une perpendiculaire. Il pourfuit les proprie12 du Triangle; & ayant montré celles des lignes paralleles, il acheve d'expliquer Les Triangles, pour paffer aux Parallelogrammes; donnant la maniere de réduire toute forte de Polygone à une figure plus reguliere, fçavoir à un Parallelogramme. Il finit ce premier Livre par la celebre Propofition de Pythagore, par laquelle il démontre que dans un Triangle rectangle, le quarré de la bafe eft égal aux quarrez des deux autres côtez mis enfemble.

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I.

LES DEFINITION S.

"L

E Point eft ce qui ne contient aucufe partie.

Cette définition fe doit prendre dans ce fens. La quantité que nous concevons fans diftinguer fes parties, ou fans penfer qu'elle en ait, eft un point Mathematique, bien different de ceux de Zenon, qui étoient tout à fait indivifibles, puis qu'on peut douter

avec raifon, fi ces derniers font poffibles quoiqu'on ne doute pas des premiers, fi on les conçoit comme il faut.

2. La ligne eft une longueur fans largeur.

Le fens de cette définition eft le même que celui de la précedente. La quantité que nous confiderons comme une longueur, fans faire réflexion à fa largeur, ni à fon épaiffur eft ce que nous entendons par ce mot de ligne : quoiqu'on ne puiffe pas tracer une ligne réelle, qui n'ait quelque largeur déterminée. On dit ordinairement que la ligne eft produite par le mouvement d'un point ce qu'on doit bien remarquer puifque de cetie forte le mouvement peut produire toute forte de quan tité. Imaginez-vous donc qu'un point fe &qu'il laiffe une trace dans le milien. qu'il parcourt, cette trace eft une ligne. 3. Les deux extiêmitez d'une ligne font des points.

ment,

4. La ligne droite eft celle dont les points font placez également dans l'entredeux.

Ou fi vous aimez mieux; la ligne droite efi la plus courte de toute celles qu'on peuttirer d'un point à l'aatre.

5. La furface ou fuperficie, eft une quantité qui a quelque longueur, & quel que largeur, fans aucune épaiffeur.

Plan

6. La furface plane ou droite, eft ce'le dont les lignes font pofées également dans l'entre-deux ; ou celle à laquelle une ligne droite fe peut ajufter en tous fens. J'ai déja remarqué que le mouvement he 1. pouvoit produire toute forte de quantité : Fig. 1. ainfi nous difons que quand une ligue en parcourt une autre, elle produit une furface, ou un nplan: & que ce mouvement a du rapport à la multiplication Arithmetique. Imaginez-vons donc que la ligne AB ligne AB parcourt la ligne BC, & qu'elle garde toûjours la même fituation, fans pancher d'un côté ni d'autre: le point A décrira la ligne AD, Le point B, la ligne BC, & les autres points d'entre deux, d'autres lignes paralleles qui compoferont la furface A B, CD. J'ajoûte que ce mouvement répond à la multiplication Arithmetique: car fi je fçavois le nombre des points, qui font dans les lignes AB, BC, les multipliant l'un par l'autre, j'aurois le nombre des points, qui compose la furface ABC D. Comme fi A B conte noit quatre points, & BC fix: difant quatre fois fix, font vingt-quatres la furface ABCD feroit compofée de vingt-quatre points. Or à la place d'un point Mathematique je puis prendre quelque quantité que ce foit par exemple, un pied, pourvû que je ne les fondivife pas en parties.

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8. L'angle plan, eft l'ouverture dé deux lignes, qui fe touchent fur une fuperficie plane, & qui ne compofent pas une feule ligne.

Comme l'ouverture D, des lignes AB, CB, qui ne font pas parties d'une même ligne.

L'angle rectiligne eft l'ouverture de deux lignes droites.

C'est principalement de cette forte d'ang'e, que je dois traiter maintenant; parce que l'experience me fait voir, que la plûpart de ceux qui commencent, fe trompent, mefurant la grandeur d'un angle, par le plus, ou moins de longueur des lignes qui le forment & le comprennent.

L'angle le plus ouvert, eft le plus grand; c'eft à-dire, quand les lignes d'un angle s'écartent davantage que celles d'un autre an gle, les prenant à la même distance de leur pointe, le premier eft plus grand que le fecond. Ainfi l'angle A eft plus grand que l'angle E; parce que prenant les points D &B autant éloignez de la pointe A, que les points G&L, le font de la pointe E : Les points B&D, font plus écartez. l'un de l'autre, que les points G&L: d'où je conclus que fi on continuoit E G, EL, l'angle E feroit toûjours de même grandeur, plus petit que l'angle A.

Pl. T.

Fig. 2.

Pl. 1. Fig. 3,

& 4.

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