Fig.19.

PROPOSITION XXVIII.

THIOREМЕ.

Quand deux lignes paralleles font coupées par une troifième, elles forment les angles alternes égaux. Et quand une ligne tombe fur deux autres, & qu'elles forment les angles alternes égaux, ces deux lignes font paralleles.

Sles

I les lignes AB & CD font paralleles, & qu'elles foient coupées par la troifiéme EH, je dis que les angles alternes BFH & FGC font égaux.

Démonstration

On fçait que fi les lignes AB & CD font paralleles, leurs parties AF & CG le feront auffi: or comme on peut les confiderer comme venant aboutir fur la ligne EH; on connoîtra par le Lemme précedent, que les angles EFA & EGC qu'elles forment de même part, font égaux. Cela étant, confiderez que les angles EFA & BFG font égaux (par la 15.) or fi ce dernier eft égal à un des deux angles égaux, dont nous venons de parler, il fera auffrégal à l'autre; c'est-à- dire,

que les angles alternes BFG & FGC font égaux. Ce qu'il faloit premierement dé

mon trer.

Je dis en fecond lieu, que fi ces angles alternes font égaux, les lignes AB & CD font paralleles, cela ne pouvant être autrement, dautant que ces angles alternes ne peuvent être égaux, fans que les deux EFA & FGC le foient auffi. Or ils ne peuvent être égaux, fans lignes AB, CD ne foient paralleles.

COROLLAIRE.

que

les

On peut remarquer que quand deux lignes font coupées par une troifiéme; & que celle-ci forme avec les deux premieres les deux angles interieurs de même part égaux à deux droits, ces deux lignes feront paralleles; ce qui fe prouve aifément dans la même figure, où il eft aifé de voir que les deux angles interieurs BFG & FGD valent deux droits, puifqu'ils font égaux aux deux FGC & FGD lefquels pris ensemble font égaux à deux droits (par la 14 ) 14) Nous pouvons dire encore que lorfque deux lignes font paralleles à une troifiéme, elles font paralleles entr'elles. Ceci eft trop naturel pour demander une démonstration particuliere.

Fig.59.

Fig.62

PROPOSITION XXXI.

PROBLEM E.

Tirer une ligne parallele à une autre, par un point donné.

le point C, laquelle foit parallele N propofe à tirer une ligne par

PLIV à la ligne AB; tirez la ligne CE, & faites l'angle ECD égal à l'angle CEA; je dis que la ligne CD eft parallele à AB. Démonftration.

Les angles alternes DCE, CEA font égaux; donc les lignes CD, AB font paralleles.

USAGE.

Le Problême précedent, eft trés-propre pour tirer des lignes paralleles fur le Papier: mais on ne pourrait pas s'en fervir pour tirer fur le Terrain une parallele à une autre inacceffible, par un point donné. Voici en peu de mots la maniere dont il faudroit agir pour cela. La ligne AB eft fupofée inacceffible, on veut du point donné C, lui tirer une parallele. Commencez par vous donner la base CD, du pont C, obfervez les extrémitez A & B, pour avoir l'angle

1

ACB

,

ACB que je fuppofe être de 40. degrez. Il faut de plus connoître l'angle ACD, qui fera, par exemple de 108. degrez; à L'autre extrêmité D de la bafe prenez comme ci-devant les angles ADB & CDB; je Suppofe le premier de 60. degre, & le fecond de 98, Comme la bafe CD eft commune aux deux Triangles ACD & CDB, &qu'on peut en connoître la longueur, qui Sera, par exemple, de 100. toifes; tout ceci étant connu, il eft aisé de parvenir à la connoiffance de l'angle ABC, lequel étant une fois trouvé, fi l'on fait l'angle BCE qui lui foit égal, la ligne CE fera parallele à A B, à cause de l'égalité des angles alternes ABC, DCE

PROPOSITION XXXII

THEOREME,

L'angle exterieur d'un Triangle, eft égal aux deux interieurs oppofez pris ensemble, & les trois angles d'un Triangle rectiligne font égaux à deux droits.

Q

UE le côté BC du Triangle ABC Fi foit continué en D, je dis que l'angle exterieur ACD est égal aux deux an

Є

gles interieurs A & B pris ensemble. Tirez par le point C, la ligne EC, parallele à AB.

Démonftration.

La ligne AB eft parallele à CE, par confequent les angles ABC & ECD font égaux & de plus ces deux lignes étant paralleles, les angles alternes BAC & ACE font égaux; donc l'angle exterieur ACD eft égal aux deux interieurs A & B.

Je démontre encore que les trois angles du Triangle valent deux droits; car l'angle exterieur ACD, ne peut les valoir, que lorsqu'on lui aura ajoûté l'angle ACB, qui eft le troifiéme angle du Triangle ACB. D'où je conclus que les trois angles d'un Triangle valent deux droits, pui que l'angle exterieur qui eft égal aux deux interieurs A & B, les vaudra en lui ajoûtant le troifiéme ACB.

pa

Voici encore une autre maniere de Fig 66 démontrer cette Propofition; tirez la PLIV rallele EF à la bafe BC. Les deux côtez AB & AC font avec cette parallele trois angles qui valent deux droits, au point angulaire commun A. Pour démontrer que les trois angles BAE, BAC & CAF valent les trois angles du Triangle ABC; remarquez que l'angle Beft égal à fon al