USAGE.

Nous avons dans ces Propofitions une Pl. 4. pratique pour partager un champ triangu- Fig.74. laire en deux parties égales, par exemple, le Triangle ABC. Divifez la ligne BC, que vous prendrez pour la bafe, en deux également en D: Je dis que les Triangles ABD, ADC font égaux. Car fi vous vous imaginez une ligne parallele à BC, qui passe par A, ces Triangles auront des bafes égales,. & feront entre les mêmes paralleles, & par confequent égaux. Nous pourrions faire d'au tres partages, fondez für la même Propofition que je laiffe, de peur d'être trop long. Les Propofitions 39. 40. font inutiles.

PROPOSITION XLI.

THEOREM E.

Un parallelograme fora double d'un Trian gle, fi étant entre les mêmes paralleles » ils ont leurs bafes égales..

S

I le parallelograme ABCD, & le PL. + Triangle EBC font entre les mêmes Fig.72 paralleles AE, BC; & s'ils ont la même bafe BC, ou s'ils ont des bafes égales; Je parallelograme fera le double du Triangle. Tirez la ligne AC.

'

Pl. S.

Démonftration.

Les Triangles ABC, BCE,font égaux, (par la 30.) Or le parallelograme ABC Deft double du Triangle ABC (par la 34.) il eft donc double du Triangle BC E. Il feroit pareillement double d'un Triangle qui ayant fa bafe égale à BC, feroir entre les mêmes paralleles.

USAGE.

La Methode ordinaire de mesurer l'aire Fig.78 ou la furface d'un Triangle, eft fondée fur cette Propofition: Qu'on propofe le Triangle ABC: on tire de fon angle A la ligne AĎ, perpendiculaire à la base BC; & multipliant la perpendiculaire AD par la demie bafe BE, le produit donne l'aire du Triangle; parce que multipliant AD on EF par BE, nous avons un rectangle BEFH qui eft égal au Triangle ABC. Car le Triangle A BC eft la moitié du rectangle HBCG ( par la 41.) auffi bien que le rectangle BEFH.

Pl. s. Fig.79.

Nous mefurons toute forte de rectilignes comme ABCDE, le partageant en Triangles BCD, ABD, 'AEĎ, tirant les lignes AD & BD, & les perpendiculaires C G, BF, EI. Car multipliant la moitié de BD, par CG, & la moitié de AV, par EI, & par BF, nous avons l'aire de tous ΕΙ, ces Triangles & les ajoûtant ensemble, la Somme eft égale au rectiligne ABCDE..

Nous trouvons l'aire des Poligones regu- ' Pl. 5liers, en multipliant la moitié de leur con Fig.80 tour, par la perpendiculaire tirée du centre & 85% à un de leurs côtez: car multipliant IG par AG, on aura lerectangle HKLM égal an Triangle AIB Et faifant le même pour tons les autres Triangles, prenant toûjours les demi-bafes, on aura le rectangle HKO N, qui a le côté KO compofé des demi-bafes, & par confequent égal au demi-contour & le côté HK égal à la perpendiculaire 16.

C'eft fuivant ce principe, qu'Archimede a démontré, qu'un Cercle étoit égal à un rectangle compris fous le demi-diametre, &N fous une ligne égale à fa demi-circonference. Mais cela fe trouve démontré autrement dans le Theor. 6. de la Planimetrie de Monfieur Ozanam..

PROPOSITION XLII.

PROBLEM E

Faire un Parallelograme égal à un Triangle,
Sous un angle donné.

N defire un Parallelograme, qui roit égal au Triangle ABC, & qui ait un angle égal à l'angle E. Partagez la

PI. So

Fig. 82+

883,

bafe BC en deux également au point D tirez AG parallele à BC, (par la 31. ) Faites auffi l'angle CDF égal à l'angle E, (par la 23.) Et enfin tirez la parallele C G. La figure FDCG eft un parallelogra me, puifque les lignes FG, DC, DF, C G font paralleles: Il eft égal au Triangle ABC, & l'angle CDF, eft égal à l'angle E.

Démonftration.

Le Triangle ADC eft la moitié du pa rallelograme FDCG; ( par la 41.) il eft aufli la moitié du Triangle ABC, puifque les Triangles ADC, ADB font égaux (par la 37.) Donc le Triangle ABC eft égal au parallelograme FDCG. USAGE.

Cette Propofition & les deux fuivantes font comme trois Lemmes pour résoudre la Prop. 45.

PROPOSITION XLIIL

THEORIM E.

Les complemens d'un parallelograme foxt égaux.

ANs le parallelograme ABDC, Pl. 1.

Dies complemens AFEH, EGDI Fig. 15

Les Triangles ABC, BCD font égaux (par la 33.) Donc fi on en fouftrait les Triangles HBE, BIE; FEC, CGE qui font auffi égaux (par la même, ) les complemens AEFH, EGDI qui reftent, fee font égaux.

PROPOSITION XLIV.

PROBLEM E.

Décrire un parallelograme fur une ligne, qui foit égal à un Triangle, & qui ait un angle déterminé.

N propofe à faire un parallelogra- pl. 5. me, qui ait un de fes angles égal à Eig. 84