fuffire; comme, quand je dis, qu'il y a même raifon de A à B, que de Bà C.

11. Les grandeurs font continuellement proportionnelles, quand les termes d'en tre-deux fe prennent deux fois ; c'est-àdire, comme antecedent, & comme con-fequent. Comme s'il y a même raison de 4 à B, que de B à C, & de Cà D.

12. Pour lors, A à Caura la raison doublée de A à B: & la raifon de A à D. fera1 triplée de celle de A à B.

Il faut remarquer qu'il y a bien de la dif ference entre raifon double, & raifon dou-blée. Nous difons que la raison de quatre à deux eft double, c'est-à-dire que quatre eft· double de deux, de forte que le nombre deux eft celuy qui donne le nom à cette raison, ou plûtôt à l'antecedent de cette raifon. Ain-fi nous difons double, triple, quadruple, quintuple, qui font des dénominations tiréess de ces nombres deux, trois, quatre, cing. comparez avec l'unité: car nous concevons mieux une raison, quand ces termes font plus petits. Mais comme j'ay remarqué, cess dénominations tombent plûtôt fur l'antece·dent, que fur la raison même nous appel-lons donc la raifon double, triple, quand Pantecedent eft double, ou triple du confequent mais quand nous difons que la raifon eft doublée, nous entendons que c'est une

raison composée de deux raifons femblables; comme s'ily a même raifon de 2. à 4. que de 4. à 8. la raifon de 2. à 8. étant composée, de la raifon de 2. à 4. & de celle de 4. à 8. qui font femblables, & comme égales ; la raifon de 2. à 8. fera doublée de chacune. Pareillement 3. à 27. eft une raison doublée de celle de 3. à9. La raison de 2. à 4. s'appelle fous-double; c'est-à-dire que 2. eft la moitié de 4. mais la raison de 2. à 8. eft doublée de la fous-double; c'est-à-dire, que 2. eft la moitié de la moitié de 8. comme 3. eft le tiers du tiers de 27; où vous voyez qu'on prend deux fois les dénominateurs & Pareillement 8. à 2. eft une raifon doublée de 8. à 4. parce que 8. eft double de 4. mais 8. eft le double du double de 2. S'ily a quatre termes en même raifon continuée, celle du premier au dernier eft triplée de celle du premier au fecondscomme fi on met ces quatre nombres 2. 4.8. 16 ; la raifon de 2. à 16. ef triplée de celle de 2 à 4: car 2. eft la moitié de la moitié de la moitié de 16. Comme la raifon de 16. à 2. eft triplée de ·celle de 16. à 8: car 16. étant le double de 8. il est le double du double, du double de 2.

13. Les grandeurs font homologues; les antecedens aux antecedens,les confequens aux confequens. Comme s'il y a même raiJon de A à B, que de C à D: A & C (ont bomologues.

Les définitions fuivantes font les façons d'argumenter par proportion: & c'eft principalement pour les démontrer que ce Livre eft compofe.

14. La raifon alterne, ou par échange, eft quand nous comparons les antecedens l'un avec l'autre, comme auffi les confequens. Par exemple, fi de ce qu'il y a même raifon de A à B, que de Cà Dje conclus qu'ily a même raifon de A à C, que de B à D: cette façon ne peut avoir lieu que quand les quatre termes font de même genre ; c'est-àdire, ou tous quatre des lignes ou des furfaces, ou des folides. Voyez la propofition 16. 15. La raison converfe, eft une comparaifon des confequens aux antecedens. Comme fi de ce qu'il y a même raison de A à B, que de Cà D; je conclus qu'il y a même raison de Bà A, bue de DC, Voyez le corol. de la Propofition 16.

16. La compofition de raffon, eft une comparaifon de l'antecedent & du confequent pris enfemble, au feul confequent. Comme s'il y a même raifon de A à B, que de Cà D je conclus qu'il y a auffi même raison de A & B, à B ; que de C&D, à D Propofition 18.

17. La divifion de raifon, eft une comparaifon de l'excez de l'antecedent par deffus le confequent, au même con fe

quent Comme s'il y a même raifon de A&a Bà B,que de C&D à D ; je conclus qu'il y a même raison de A à B, que de Cà D. Prop. 17.

18. La converfion de raifon,eft la comparaifon de l'antecedent, à la difference des termes. Comme s'il y a même raifon de A & Bà B, que de C & D à D; je conclus qu'il y a même raison de A & B à A,, que de C & D à C. Prop. 18.

19, La Proportion d'égalité, eft une comparaifon des quantitez extrêmes, en laifA.B.C.D.fant celles du milieu. Comme fiy ayant même raison de A à E.F. G.H, B, que de E a F; & de Bà C.. que de Fà G; & de Cà D, que de Gà H, je tire cette confequence; donc il y a même raifon de A à D, que de E à H.

20. La Proportion d'égalité bien rangée, eft celle dans laquelle on compare les termes avec le même ordre, comme dans Pexemple précedent. Propofition 12.

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21. La Proportion d'égalité mal rangée, eft celle dans laquelle on compare lêş ter-mes avec un ordre different. Comme fi'y ayant même raifon de A à B, que de Ga, H; & de B à C12 que de Fà G, & de Cà D que de Eà F; je tire cette conclufion; Donc il y a même raison de A à D, que de Bà H. Propofition 23.

Voicy toutes les façons d'argumenter par proportion.

1. Il y a même raifon de A à B, que de C à D; donc par la raifon alterne, il y aura même raison de A à C, que de B à D. 2. Et par la raifon converfe, il y aura même raifon de B à A, que dé D à C. 3. Et par compofition, il y a même raifon de A & B à B, que de C & D à.

4. Par la divifion de raifon, s'il y a même raifon de A & B à B, que de C & D à D; il y aura même raison de A à B, que de Cà Do

5. Eupar converfion, il y aurà même raifon de A & B à A, que de C & D à C. 6. Par la raison d'égalité rangée, s'il y a même raifon de A à B ̧, que de C à D ; & auffi même raifon de B à E › que de DàF, ily aura même raison de A à F, que de C a F.

7. Par la raison d'égalité mal rangée, s'il, ya même raison de A à B, que de D à F &auffi même raifon de. B à E, que de C à D; il y aura même raifon de A à E, que de Cà F..

Ce livre contient vingt-cing Propofitions d'Euclide, aufquelles on en a ajoûté neuf, qui font recenes. Les fix premieres de ce livre ne font utiles que pour prouver les fuivantes par la methode des équimultiples: Ó