plus petite que A. Car fi A & B étoient égales, C auroit même raifon à toutes deux, (par la 7.) Si B étoit plus grande que A, C auroit plus grande raifon à A qu'à B, par la 8.) L'un & l'autre eft contre ce que nous avons fuppoft. ~

PROPOSITION XI.

THEOREM E.

Les raisons qui font égales à une troifiéme le font auffi entre elles.

JA,B,C,D,E,F,S de A à B, que de € 4. 2. 8. 4. 6. 3. à D,& s'il y a auffi même raifon de C à D, que de E à F: Je dis qu'il y aura même raifon de A à B, que de E à F.

'Il y a même raifon

Démonftration.

Puis qu'il y a même raison de A à B quê de Cà D, A contient autant de fois quelque partie aliquote que ce foit de B, que C contient une femblable partie aliquote de D (par la défin. 5.) & pareillement,au tant de fois que C contient cette partie aliquote de D,E contiendra une femblable partie aliquote de F. Ainfi autant de fois que A contient quelque partie que ce foit

de B, E contiendra auffiautant de fois une femblable partie aliquote de F. Donc il y aura même raifon de A à B, que de E à F.

PROPOSITION XII.

THEOREM E.

Si plufieurs quantitez font proportionelles il y aura même raifon d'un antecedent, à fon confequent, que de tous les antecedens pris enfemble, à tous les confequens.

A B.i

S

'Il y a même raison de A à B, que de C à D. Je dis qu'il y a 312 même raifon de A à C, pris enC D. femble à B, & D, que de A à B.. Démonftration

$2 8-1

Puis qu'il y a même raifon de A à B que de Cà D; la quantité A contiendra autant de fois quelque partie aliquote que ce foit de B,que C contient une femblable partie aliquote de D; par exemple, le quart (par la défin. 5. )Or le quart de B, & le quart de D, font le quart de B & D. Ainfi A & C pris enfemble contiendra autant de fois. quart de B & D auffi pris ensemble que A contient le quart de B: & ce que je dis fe verifie de toutes les autres quart, parties aliquotes..

·le

du

PROPOSITION XIII.

THEOREM I.

Si de deux raifons égales, l'une eft plus grande qu'une troifiéme, l'autre le fera auffi.

A,B: C,D: E,FS'll y a même raison

de A à B, que de C à D: & qu'il y ait plus grande raifon de A à B, que de É à F: Je dis qu'il y aura auffi plus grande raifon de Cà D, que

de E à F.

Démonftration.

Puis qu'il y a plus grande raifon de A à B, que de E à F; A contiendra quelque partie aliquote de B, plus de fois, que E ne contient une femblable partie aliquote de F( par la 6. défin. ) Or C contient une femblable partie de D, autant de fois que A contient celle de B; puifqu'il y a même raifon de A à B, que de Cà D. Ainfi C contient une partie aliquote de D, plus de fois que E,ne contient une femblable partie aliquote de F. Donc il y a plus grande raifon de C à D, que de E à F.

BROPOSITION XIV.

THEOREM E.

S'il y a même raifon de la premiere quantité, à la feconde que de la troisième, à la quatrième : & que la premiere foit plus grande, égale, ou plus petite que la troifieme: la feconde fera auffi plus grande↳ égale, on plus petite que la quatrième.

A, B, C, DS'lly a même raison de A DSB,que de C à D:Je dis en premier lieu, que fi A eft plus grande que C; B auffi fera plus grande que D. Demonftration.

Puifque A eft plus grande que C: Il y aura(par la 8.) plus grande raifon de A à B, que de Cà B: Or comme A à B, Ainfi Cà D. Donc il y aura plus grande raison de C à D,que de Cà B. Et par confequent ( suivant la 10.) Bfera auffi plus grande que D. Je dis en fecond lieu, que fi A eft égale à C; B fera auffi égale à D.

Démonftration.

Puifque A & C font égales, il y aura même raison de A à B, que de Cà B (par la 7.) Or comme A B, ainfi Cà D. Donc il

y a même raifon de Cà B,que de Cà D:& par confequent B & D font égales (par la 9.)

J'ajoûte en troifiéme lieu, que fi A eft plus petite que C, B fera auffi plus petite que D.

Démonftration.

Puifque A eft plus petite que C; il y aura moindre raifon de A à B que de Cà B, (par la 8.) Or comme A eftà B, ainfi C eft à D. Donc il y aura moindre raifon de Cà D, que de C à B: & par confequent (fuivant la ro. ) B fera plus petite que D.

PROPOSITION XV.

THEORIM 1

Les équimultiples, les femblables parties aliquotes, font en même raison..

A, B, C, D. S font équimultiples de A I les quantitez C & D 2. 3. 6. 9. & Bleurs parties aliquotes; E. 2. H. 3. il y aura même raifon de A F, 2. I, 3. à B, que de C à D. Qu'on divife la quantité C en parties égales à A, qui feront E, F, G: qu'on divife auffi la quantité D en parties égales

G, 2. K, 3.