3, 12, 6, 2. tant de fois que E contient la moitié de F:: LA,B,C Suppofons que ces moitiez fe trouvent fix fois dans B & E. A,qui contient douze fois 631 la moitié de C, aura plus grande raifon à D,E,F B, qui contient fix fois la moitié de C; que D qui contient feulement onze fois la moitié de Fà E, qui la contient fix fois. Il y aura donc plus grande raifon de A à B, que de D à E, quoy que nous ayons fuppofé le contraire. USAGE Cette Propofition fert pour démontrer la Prop. XVIII. du Livre fuivant, & plufieurs autres belles Propofitions, comme par exemple le Lemme XII, de la Gnomonique ~ de M. Ozanam.. L PROPOSITION XXIII THE ORE ME. La raifon d'égalité fans ordre.. Si deux rangs de termes font en même raison A,B,C,D,E,F,G. SC, & les autres D, font en même raifon mal rangées ; c'est à dire qu'il y ait même raifon de A à B que: de E à F ; & la même de Bà C, que de D à E: il y aura même raifon de A à C, que: de D à F. Qu'il y ait même raifon de Bà Є, que de F à G. Démonftration. Puifqu'il y a même raifon de Ad B, que de E à F; & de Bà C, que de Fà G; il y aura auffi même raison de A àC, que de E à G, (par la 22.) De plus, puis qu'il y a même raifon de B à C, que de D E, & de F à G; il y aura ( par la 11.) même raifon de D à E, que de FaG: & paréchange ( felon la 16.) il y aura même rai-fon de D à F, que de E à G. Or comme Eà G, ainfi A à C, ainfi que nous avons deja prouvé. Donc comme A à C, ainfi ; DaF. USA GE Cette Propofition fert pour démontrer que dans un triangle rectiligne, les finus des an-gles font proportionnels à leurs côtez oppoJez, & que dans un triangle spherique les finus des angles font proportionnels aux finus de leurs côte oppofez, comme l'on peut voir dane la Trigonometrie rectiligne & fpherique de M. Ozanam... PROPOSITION XXIV. THE ORE ME. s'il y a même raison, de la premiere quantité à la feconde, que de la troisième à la quatrième, & la même, de la cinquième à la feconde, que de la fixième à la quatrième: Il y aura même raison de la premiere avec la cinquième à la feconde, que de la troisième avec la fixième à la E. 4. triéme. qua 'll y même raifon de A FSB, que de Cà D; de E 6. à B, que de Fà D : il y aura 16. 2. 9. 3. même raifon de A & E à B, A, B, C, D. que de C & F à D. Démonftration. Puifqu'il y a même raifon de A à B, que de Cà D; A contiendra quelque partie aliquote que ce foit de B, autant de fois que C contient une femblable partie aliquote de D (par la 5. defin. ) Pareillement E contiendra la même partie aliquote de B, autant de fois que F contiendra une femblable partie aliquote de D: ainfi A & E contiendront quelque partie aliquote de B, que ce foit, autant de fois que C & F contiennent une femblable partie aliquote de D. PROPOSITION XXV. THEOREM E. Si quatre grandeurs font proportionelles, la plus grande & la plus petite furpafferont Les deux autres. 112.9.4.3. 18.6. A.C,E,F.SC, E, F, font proportionles quatre grandeurs A, nelles; que A foit la plus granB. D. de,& F la plus petite,A & F feront plus grandes que C & E. Puilqu'il y a même raifon de A à C, que de E à F, & qu'on fuppofe que A eft plus grande que É; C fera auffi plus grande que F (par la 14.) Otez E de A & F de C, & que les reftes foient B & D. Démonftration. Puifqu'il y a même raifon de A à C; que de E à F, il y aura auffi par la 19. mêmeraifon de Bà D, que de A à C, & A étant fuppofée plus grande que C, B fera auffi plus grande que D; & fi l'on y ajoûte E & F de part & d'autre, B,E & F font plus grandes que D, E & F; mais B,E & Ffont égales à A &F, puifque B & E égalent A & D, E & F font égales à Ĉ & E, puifque D & F égalent C. Donc A & F font plus grandes que E & C.. USA G E. On démontre dans cette Propofition, une proprieté de la proportionalité Géometrique, qui luy fert comme de difference, & qui la diftingue de la proportionalité Arithmeti que: : car dans cette derniere, les deux termes du milieu font égaux aux deux extrémes: & dans la Géometrique, le plus grand le plus petit furpaffent les deux autres. Quoy que les neuf Propofitions fuivantes. ne foient pas d'Euclides j'ai crû que je ne les dévois par ometre, parce que plusieurs sen fervent & les citent comme fi elles en étoient. PROPOSITION XXVI, Sil y a une plus grande raifon de la premiere quantité à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième ; la quatrième aura plus · grande raifon à la trioifiéme, que de la fe-Conde à la premiere. 9. 4. 6. 3. A,B,C,D. E, 8. 'l y a plus grande raifon de Aà B, que de Cà D; il y aura plus grande raison de Dà C, que de Pà A. Suppofons qu'il y ait même rai |