l'une l'autre. Pour cela, il faut qu'elles folent de même genre. En effet une ligne n'a aucune raison avec une furface, parce qu'une ligne prife mathematiquement eft confiderée fans aucune largeur: ainfi étant multipliée tant qu'il vous plaira, elle ne donne aucune largeur, &neanmoins la furface en

contient une.

Puifque la raison est un rapport, c'est-à dire une relation fondée fur la quantité: elle doit avoir deux termes. Celuy que les Philofophes appelleroient fondement, eft nommé par les Mathematiciens Antecedent : & le fecond terme eft appellé Confequent. Comme, fi nous comparons la quantité A, à la quansité B, ce rapport ou cette raison, aura pour Antecedent la buantité A. & pour confequent la quantité B. Comme au contraire, fi nous comparons B, avec A, cette raifon de B à A, aura pour antecedent la quantité B, & pour confequent la quantité A.

On divife la raifon, ou rapport d'une quantité à une autre, en raifon rationnelle,

raifon irrationnelle. La raifon rationnelle eft un rapport d'une quantité à une autre qui luy est commensurable; c'est à-dire ane relation de deux quantitez qui ont une mefure commune qui les mesure exactement toutes deux. Comme, la raison d'une ligne de 4. pieds, à une de 6.eft rationnelle ; parce

qu'une ligne de deux pieds les mesure exaElement toutes deux : & lorfque cela arrive, ces quantitez ont méme raifon qu'un nombre' ́ à un autre. Par exemple, parce que la ligne de deux pieds qui est la mesure commune, fe trouve deux fois dans la ligne de 4. & trois fois dans celle de 6. la premiere à la feconde aura même raifon que 2. à 3.

La raifon irrationnelle eft entre deux quantitez de même genre qui font incommenfurables. Comme, la raison du côté d'un quarré à fa diagonale. Car on ne peut trouver aucune mefure, fi petite quelle foit, qui les mesure toutes deux précisément : & pour lors ces li n'ont pas méme raifon qu'un nombre à

gnes

un autre nombre.

la

Quatre quantitez Jeront en même raison, on feront proportionnelles, quand la raison de la premiere à la feconde, fera la même ou femblable à celle de la troisième à la quatrième de forte qu'à parler proprement, proportion eft une fimilitude de raifons. Mais on a de la peine à entendre en quoy confifte cette fimilitude de raifons: c'est-à-dire, que deux rapports, on relations foient femblables. Car Euclide n'en a pas donné une définition' juste, & qui en expliquât la nature ; s'étant ́· contenté de nous donner une marque par· quelle nous puiffions connoître, fi les quantitez avoient une même raison ; & c'est Lob

la

fcurité de cette définition qui a rendu ce livre difficile. Je tâcheray de fuppléer à se défaut.

le

6. Euclide dit, que quatre grandeurs 'ont même raison, lors quayant pris les Equimultiples de la premiere, & de la troifiéme ; & d'autres Equimultiples de la feconde,& de la quatriéme; quelque combinaifon qu'on faffe, quand le multiple de la premiere, étant plus grand, que le multiple de la feconde; le multiple de la troifiéme eft auffi plus grand, que le multiple de la quatriéme : & quand le multiple de la premiere eft égal, ou plus petit que multiple de la feconde, alors il y a même raifon de la premiere à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième. ABCD Comme fi on propose quatre grandeurs A, B, C, D. 2. 4. 3. 6. Ayant pris les Equimultiples E F G H de A & C, qui foient E 10. 8. 15. 12. & G, quintuples, FÚ H, K L M N doubles de B & D. Pareil 8. 8. 12. 12. lement prenant K & M, O P Q R quadruples de A & C : L N, donbles de B & D. 6. 16. 9. 24. Prenant encore 0 && triples de A&C: P&R quadruples de B &D, Parce que E étant plus grand que F G eft plus grand que H: &K étant égal à L'; M est égal à N: Enfin O étant

plus petit que P; eft plus perit que R. Q Alors A aura la même raison à B, que Cà D• Pour bien expliquer ce que c'est que Proportion, c'est-à-dire que quatre grandeurs foient en même raifon : quoy qu'on puiffe dire en general, que pour cela il faut que la premiere foit une femblable partie, ou un femblable tout, eu égard à la feconde; que la troifiéme, comparée à la quatrième: peanmoins parce que cette définition ne convient pas à la raison d'égalité, il en faut donner une plus generale ; & pour la rendre intelligible il faut expliquer ce que c'est qu'une femblable partie aliquote.

Les femblables parties aliquotes font celles qui font autant de fois dans leur tout: comme trois, eu égard à neuf; deux en égard à fix, font des parties aliquotes femblables, parce que chacune fe trouve trois fois dans fon tout.

La premiere quantité aura même raison à la feconde, que la troisième à la quatriéme, fi la premiere contient autant de fois quelques parties aliquotes que ce foit de la feconde, que la troisième contient de femblables parties aliquotes de la quatrieme; comme, fi A contient autant de fois une cen tième, une millième, une cent

A, B, C, D. millième partie de B: que C

contient une centième, une milliéme, ou une

cent millième partie de D;& ainfi de toutes les autres parties aliquotes qu'on fe peut imaginer; il y aura même raison de A,à B, que de Cà D.

7. Il y aura plus grande raifon de la premiere quantité à la feconde,que de la troj fiéme à la quatriéme : fi la premiere contient plus de fois quelque partie aliquotede la feconde, que la troifiéme ne contient une femblable partie aliquote de la quatriéme. Comme, 101. a plus grande raifon à 10: que 200. à 20; parce que 101.. contient cent & une fois la dixième partie. de 10. 200..contient feulement cent fois la dixième partie de 20. qui eft 2.

8. Les grandeurs ou quantitez qui font en même raison, s'appellent proportio nelles.

9. La proportion ou analogie, eft une fimilitude de raifon ou de rapport.

10. La proportion doit avoir pour le moins trois termes. Car afin qu'il y ait fimilitude de raifon, il faut qu'il y ait deux raifons: Or chaque raison ayant deux termes, l'antecedent & le confequent, il ferble qu'il y en devroit avoir quatre; comme, quand nous difons, qu'il y a même raifon de A à B, que de C. à D; mais le confequent de la premiere raifon, pouvant être antecedent dans la feconde, trois termes peuvent