C'eft pourquoy en prenant les moitiez des confequens, &c en changeant la corde du complement au double du Sinus du complement, qui eft la même chofe, on aura cette autre ana logie, qui donnera le Sinus de l'arc double.

Comme le Sinus total,

Au Sinus connu s

Ainfi le double du Sinus du complement,
Au Sinus de l'arc double.

Connoiffant la corde d'un arc, trouver la corde de la moitié

Pour trouver la corde A B de la moitié de l'arc ABC, dont on connoît la corde AC, tirez le Rayon OB, qui coupera à angles droits & en deux Ségalement au point G la corde AC, laquelle étant connue fa moitié A G fera auffi connue, dont le quarré étant ôté du quarré du Rayon A O, il reftera le quarré de la ligne OG, ou du Sinus du comple

de cet arc.

B

ment de l'arc AB. Ainfi la ligne OG fera connue, la-quelle étant icy ôtée du Rayon O B, on aura le Sinus verse BG, dont le quarré étant ajoûté au quarré du Sinus droit AG, on aura le quarré de la corde AB: c'eft pourquoy fi on prend la Racine quarrée de cette fomme, on aura la corde A B qu'on cherche

Si on appeller le Rayon A O, & a la moitié A G de la corde connuë A C, la corde A B fe trouvera V.ar+rr—-----V.ar-rr, d'où l'on tire ce canon pour l'invention de la corde A B.

B

Multipliez la fomme & la difference du Rayon & de la moitié de la corde connue, chacune par le Rayon, & la difference des Racines quarrées de chaque produit fera la corde de la mortié de l arc qu'on cherche.

Ce canon fe peut énoncer plus brièvement en cette forte. Multiplicz. l'excés du diametre fur la corde du complement par le Rayon, la Racine quarrée du produit longera la corde de la moitié de l'arc qu'on cherche.

Pour la demonftration de ce dernier canon, tirez le diametre A D, & la corde du compiement CD, que vous porteret fur le diametre A Den DB, & menez les droites CE, BD.

Cette preparation étant faite, on void que puifque le trian gle E DC eft ifofcele par la conftruction, la ligne DF qui par 20. 3. divife l'angle D en deux également, coupe la bale EFà angles droits & en deux également au point F, X qu'ainfi les deux triangles rectangles BFE, BFC, font é gaux, & que par confequent les trois lignés A B, BC, BE, font égales, ce qui fait que les deux triangles ifofceles ABE AOB, qui ont un angle commun A, font femblables, & que la corde A B eft moyenne proportionelle entre le Rayon AO & l'excez A E du diametre A D fur la corde C Dou DE du complement. C'eft pourquoy multipliant cet excez AE par le Rayon AO, on aura le quarré de la corde AB, Racine quarrée du produit fera la corde AB. Ce qu'il faloit demontrer,

PROPOSITION VII.

Eftant connu le Sinus d'un arc, trouver le Sinus de la moitié de cet arc.

Si on double le Sinus connu, on aura la corde d'un arc double, & fi de cet arc double on trouve par la Propofition precedente, la corde de la moitié, la moitié de cette corde fera le Sinus de la moitié de l'arc qu'on cherche.

Ainfi vous voyez que travaillant par les cordes c'eft la même chofe que de travailler par les Sinus, parce qu'on travaille par les doubles des Sinus: ainfi au lieu d'avoir le Sinus qu'on cherche, on a fon double : & afin que ce Sinus vienne

tout d'un coup, on pourra changer le canon precedent en celuy-cy;

Multipliez l'excés du Rayon fur le Sinus du complement par lo_m sike Rayon, &la Racine quarrée du produit donnera le Sinus de la

moitié de l'arc qu'on cherche.

PROPOSITION

VIII.

2

Etant connues les cordes de deux arcs trouver la corde de
Lear fomme.

Pour trouver la corde A C de la fomme A B C des deux arcs A B, BC, dont on connoît les cordes, tirez de l'angle B fur la corde qu'on cherche A C la perpendiculaire A D, qui fera connue: car fi on divise l'un des deux arcs AB, BC, Comme A 8 en deux également au point E, & qu'on tire le Rayon OE, il coupera la corde A B

à angles droits & en deux également au point F, & le triangle
rectangle AOF fera femblable au triangle rectangle DBC,
à caufe de l'angle C égal à l'angle O, parce que l'angle O
n'a que la moitié des degrez de l'arc A B par la conftruction,
& que pareillement l'angle C n'a que la moitié des degréz
du même arc AB, par 20.
3. c'est
pourquoy les quatre lignes
AO, AF, BC, BD feront proportionelles, & comme les
trois premieres font connues, la quatrième B D fera auffi
connue, dont le quarré étant ôté des quarrez A B, BC, les
Racines quarrés des reftes donneront les fegmens AD, DC,
dont la fomme donnera la corde AC qu'on cherche.

B

Ou bien tirez le dias metre BE, & les deux cordes du complement AD, CD, qu'on pour ra connoître par Prop.2. & parce que le rectangle ABCD avec le rectan gle A DB G, eft égal par Prop.1. au rectang le A CBD, fi on ajoûte en femble les deux premiers rectangles, qui font connus, & qu'on divife leur fomme

BD, on aura la corde A C qu'on cherche.

par

le diametre

Eftant connus les Sinus de deux arcs, trouver le Sinus
de leur fomme.

Si on double les Sinus connus, on aura les cordes des arcs doubles, & fi par la Propofition precedente on trouve la corde de la fomme de ces deux arcs doubles, la moitié de cette corde donnera le Sinus de la fomme qu'on cherche.

Par la Propofition precedente, on connoît que pour trouver la corde de la fomme, On doit multiplier chacune des deux cordes connues par la corde du complement de l'autre, divifer la fomme des deux produits par le diametre: c'eft pourquoy pour avoir le Sinus de la fomme de deux arcs, dont ont connoît les Sinus, on doit multiplier chacun des deux Sinus connus par le Sinus du complement de l'autre, & divifer la fomme des deux produits par le Rayon.

PROPOSITION X.

Eftant commues les cordes de deux arcs inégaux, trouver la corde de leur difference.

Pour trouver la corde B C, de la difference des deux arcs AEB, ABC, dont on connoît les cordes A B, A C, tirez le

Rayon AO, & du centre O fur la corde connue A B, là perpendiculaire E, qui divisera la corde AB & fon arc AEB, en deux également. Tirez encore du point A fur la corde qu'on cherche BC, la perpendiculaire A D, qui fera con pue: car les deux triangles rectangles AOF, ACD, font femblables, à caufe de l'angle C égal à l'angle O, parce que

l'un & l'autre n'a que la moitié des degrez de l'arc AEB; c'eft pourquoy les quatre lignes AO, AF, AC, AD, font proportionelles, & comme les trois premieres font connuës, la quatriéme A D fera auffi connue, dont le quarré étant ôté féparément des quarrez A B, A C, il reftera les quarrez BD, CD, & fi on prend les Racines quarrées de ces deux reftes, on aura les lignes BD, CD, dont la difference donnera la corde BC qu'on cherche.

Ou bien tirez le diametre AD par l'angle A des deux cordes connuës AB, AC, & tirez les deux cordes du complement BD,CD,qui feront auffi connues par Prop.2. & parce que par Prop. 1. le rectangle ABCD avec le rectangle A DBC, eft égal au rectangle ACBD, fi de ce rectangle qui eft connu on ôte

E

Q

D

par

le

le premier qui eft auffi connu, & qu'on divife le refte diametre AD, on aura la corde BC de la difference qu'on cherche.

B iij