PROPOSITION XI,

Etant connus les Sinus de deux ares inégaux, trouver le Sinus de leur difference.

Si on double les Sinus connus, on aura les cordes des arcs doubles, & fi par la Propofition precedente, on trouve la cor de de la difference de ces deux arcs doubles, la moitié de cette corde donnera le Sinus de la difference qu'on cherche.

Par la Propofition precedente, on connoît que pour trouver. Ja corde de la difference, on doit multiplier chacune des deux Cordes connues par la corde di complement de l'autre, & divi fer la difference des deux produits par le diametre: C'eft pour quoy pour avoir le Sinus de la difference de deux arcs iné gaux, dont on connoît les Sinus, on doit multiplier chacun des deux Sinus connus par le Sinus du complement de l'autre, ☞ di viter la difference des deux produits par le Rayon.

Etant connue la corde d'un arc, trouver la corde d'un arc triple.

Si on trouve par Prop. 4. la corde d'un arc double, & par Prop. 8. la corde de la fomme de l'arc fimple & de l'arc double, on aura la corde de l'arc triple qu'on cherche.

On tire de cette regle le canon fuivant. Divifez par la corde. connue la difference des quarrez de cette même corde, & de la corde de l'arc double, pour avoir au quotient la corde de l'are triple qu'on cherche.

Etant connue la corde d'un arc, trouver la corde du tiers

de cet arc.

Ce Probleme le peut refoudre fcientifiquement par l'Algebre, mais pour éviter un long calcul, nous le refoudrons mécaniquement en cette forte,

Prenez pour la corde qu'on cherche une quantité un peu. plus grande que le tiers de la corde connuë, parce qu'elle dois être telle, & par cette ordre ainfi fuppofée cherchez par la Propofition precedente la corde d'un arc triple, & fi cette corde fe trouve égale à la corde connue, ce fera une marque affurée que la corde fuppofée eft la veritable: autrement augmentez cette corde fuppofée, ou la diminuez de quelqu'autre quantité, felop que vous aurez trouvé la corde de l'arc triple plus petite ou plus grande que la connuë, & par cette feconde corde fuppofée cherchez la corde d'un arc triple, & continuez ainfi jufqu'à ce que vous trouviez la corde de l'arc triple égale à la connue, aprés quoy la derniere corde fuppofée fera celle qu'on cherche.

Etant connue la corde d'un are, trouver la corde d'un arc

quintuple.

Si on trouve par Prop. 4. la corde d'un arc double, & par Prop. 12. la coide d'un arc triple, & que par Prop. 8. on trouve la corde de la fomme de l'arc double & de l'arc triple, on aura la corde de l'arc quintuple qu'on cherche.

On tire de cette regle le canon fuivant. Divife par la corde connue la difference des quarrez de la corde de l'arc double de la corde de l'are triple, pour avoir au quotient la corde de l'arc quintuple quo'n cherche.

Ce canon fe peut reduire tres commodément à cette analox

gic;

Comme la corde connue,

A la fomme des cordes de l'arc double de l'arc triple;
Amfi la difference des mémes cordes
Ala corde de l'arc quintuple.

PROPOSITION

X V.

Etant connue la corde d'un arc, trouver la corde de la cinquiéme

partie de cet arc.

Prenez pour la corde qu'on cherche une quantité un peu

plus grande que la cinquième partie de la corde connue; car elle doit être telle, & par cette corde ainfi fuppofée cherchez par la Propofition precedente la corde d'un arc quintuple, & fi cette corde le trouve égale à la corde connue, la corde fuppofée fera la veritable: autrement augmentez cette corde fuppofee, ou la diminuez de quelqu'autre quantité, felon que vous aurez trouvé la corde de l'arc triple plus petite ou plus grande que la connue, & par cette feconde corde fuppolée cherchez la corde d'un arc quintuple, & continuez ainfi jufqu'à ce que vous trouviez la corde de l'arc quintuple égale à la connue, car alors la derniere corde fuppofée fera celle qu'on cherche.

PROPOSITION XVI.

Etant connu le Sinus d'un arc, trouver sa Tangente & sa

A

Secante.

Pour trouver la Tangente BE, & la Secante A E, de l'arc BC, dont on connoît le Sinus CD, on trouvera par Prop. 3 le Sinus du complement AD, & dans les triangles femblables ADG, ABE, on verra aisément que les quatre lignes A D, DC, A B, BE, font proportionelles, & parce que les

trois premieres font connues, la quatriéme BE, ou la Tangente qu'on cherche fera auffi connuë.

AC,

-On verra anffì facilement que les quatre lignes AD, AB, AE, font proportionelles, c'eft à dire que le Rayon eft moyen proportionel entre la Secante A E & le Sinus du complement AD: c'eft pourquoy fi on divife le quarré du Rayon par le Sinus du complement, on aura la Secante qu'on cherche.

Le Rayon eft égal à la corde d'un arc de 60 degrez, & auffi à là Tangente de 45 degrez.

Je dis en premier lieu

que fi l'arc A B C eft de 60 degrez, fa corde AC eft egale au Rayon A O, ou CO. Car puifque l'arc A B C eft de 60 degrez l'angle A OC fera de 60 degrez auffi ; & les deux autres A > C, qui font égaux, à

caufe des deux côtez égaux A O, CO, feront ensemble de 120 degrez, & chacun par confequent de 60 degrez. D'où il fuit que le triangle AOC eft équilateral, & qu'ainfi la corde AC de 60 degrez est égale au Rayon A O. Ce qu'il faloit

démontrer.

Je dis en fecond lieu que fi l'arc D F eft de 45 degrez, fa Tangente D E eft égale au Rayon DO; car puifque l'are DF eft de 45 degrez, l'angle DOE eft auffi de 45 degreź, & parce que l'angle O DE eft droit, l'angle E fera encote de 45 degrez, & par confequent égal à l'angle DOE. D'où il fuit par 6. 1. que la Tangente DE de 45 degrez eft égale au Rayon DO. Ce qui reftoit à demontrer.

PROPOSITION XVIII.

Conftruire les Tables des Sinus, des Tangentes & des

Secantes.

Premierement pour conftruire les Tables des Sinus, on trouvera le Sinus d'un arc d'une minute, en cette forte.

Puifque par la Propofition precedente, le Rayon eft égal à la corde de 60 degrez, fa moitié fera le Sinus de 30 degrez. Ainfi le Sinus de 30 degrez fera connu, au moyen duquel on pourra trouver par Prop. 7. le Sinus de 15 degrez, & par

C

Prop. 13. le Sinus de 5 degrez, & par Prop. 15. le Sinus d'da degré, & enfuite par Prop. 7. le Sinus de 30 & de 15 minutes, & par Prop 13 le Sinus de 5 minutes, & enfin par Prop. 15. le Sinus d'une minute.

Ou bien en connoiffant le Sinus de 30 degrez dont une minute eft la 1800e. partie, car multipliant 60 minutes par 1800, il vient 30 degrez, on cherchera par Prop. 7. le Sinus de la moitié ou de 15 degrez, & enfuite le Sinus de la moitié de cette moitié, ou le Sinus de 7. degrez & 30 minutes, & on continuera ainfi à diviser jufqu'à ce qu'on ait trouvé le Sinus d'un arc plus petit que d'une minute, ce qui arrivera icy à l'onzićme foudivifion, où l'on trouve le Sinus de $2 fecondes 44 tier ces 3 quartes 45 quintes, qui font la 2048 partie du même arc de 30 degrez, parceque multipliant 52 fecondes 44 tierces 3 quartes 45 quintes par 2048 il vient 30 degrez. Puifque donc le produit de sa fecondes 44 tierces 3 quartes 45 quintes pat 2048, cft égal au produit de 1 minute par 1800, chacun étant de 30 degrez, on aura par 20. 7. cette analogie, 1800, 2048:52 fecondes 44 tierces 3 quartes 45 quintes, I minute, & fi à la place des deux derniers termes on met leurs Sinus, qui font à peu prés dans la même raison, à cause de la petiteffe des arcs on aura cette autre analogie, 1800, 2048:: Sinus de 52 fecondes 44 tierces 3 quartes 45 quintes, Sinus de 1 minute, dont les trois premiers termes étant con nus, le quatriéme ou le Sinus de i minute fera auffi connu.

les

Le Sinus d'une minute étant ainfi connu, on pourra connoître par Prop. s le Sinus de 2 minutes, & par Prop. 9. Sinus de toutes les minutes & de tous les degrez du quart de cercle, par le moyen defquels on pourra trouver par Prop. 16. Teurs Tangentes & leurs Secantes. Ainfi les Tables feront achevées, dont la fupputation fe facilitera par le moyen des Propofitions fuivantes.