C La Secante de 45 degrez eft double en puissance du Rayon, & le Smus eft double en puiffance du Sinus de 30 degriz. Il eft évident que la corde BC du quart de cercle BDC eft la Secante de 45 degrez, parce qu'elle eft égale à la Secante A G de l'arc BD de 45 degrez, à caufe des deux triangles rectangles égaux CAB, A BG, qui ont le côté commun A B, & le côté B G égal au côté A C, par Prop. 17. Il est évident auffi à caufe de l'angle droit CAB, que A le quarré de la Secante BC, eft égal aux quarrez A B, AC, & par confequent double du quarré du Rayon A B, ou A C, ce qui eft une des chofes qu'il faloit démontrer. Il est encore évident que les deux Secantes égales BC, AG, Le coupent mutuellement à angles droits & en deux également au point E, duquel faifant tomber fur le Rayon A B, la perpendiculaire E F, elle divifera le Rayon A B en deux également au point F, & chacune des deux lignes, E F, B F fera par Prop. 17. le Sinus de 30 degrez, & parce que B E eft le Sinus de 45 degrez, & que fon quarré eft égal aux deux égaux EF, BF, il fera double de chacun, & confequemment double du quarré du Sinus de 30 degrez. Ce qui reftoit à démontrer. COROLLAIR I. Il fuit de cette Propofition, que fi on prend la Racine quarrée du double du quarré du Rayon, on aura la Secante de 45 degrez, & que fi on prend la Racine quarrée du double du quarré du Sinus de 30 degrez, qui eft la même chofe que de prendre la Racine quarrée de la moitié du quarré du Rayon, on aura le Sinus de 45 degrez, dont le double donnera la Secante. 漿 A Trouver le Sinus de 18 de 36 degrek. Si on tire du centre D for le diametre A C du demicercle A BC, la perpendi culaire D B, & qu'on divife le Rayon D C en deux également au point E, & qu'enfin on porte la ligne E B depuis E fur le Rayon A Den F, ce Rayon AD fe trou vera coupé en F dans la moyenne & extréme raifon, par 11. 2. & par9 13. le plus grand fegment D F fera le côté du Decagone, ou la corde de 35 degrez, & la ligne B F fera le côté du Pentagone, ou la corde de 72 degrez, par 10. 13. Ces eux cordes fe trouveront ainfi Si au quarré du Rayon D B on ajoûte le quarré de fa moitié DE, la Racine quarrée de la fomme donnera la quantité dela ligne E B, ou E F fon égale, de laquelle ôtant la moitié du Rayon DE, il reftera la corde DF de 36 degrez, dont la moitié fera le Sinus de 18 degrez qu'on cherche. Le quarré de cette corde trouvée D F étant ajoûté au quarré du Rayon DB, la Racine quarrée de la fomme donnera la corde BF de 7? degrez, dont la moitié fera le Sinus de 36 degrez qu'on de mande. PROPOSITION X X I. La Tangente de 60 degrez eft double de fon Sinus, & la Secante eft double du Rayon. BD Je dis que fi l'arc B C eft de 60 degrez, fa Tangente eft double de fon Sinus CE, & que la Secante A D eft double du Rayon A B. Car puifque le triangle ABC eft équilateral, par Prop. 17. & que l'angle A B C eft de 60 degrez, l'angle C B D fera de 30 degrez, & parce que l'angle Deft aufli de 30 degrez, à caufe de l'angle A de 60 degrez, & de l'angle ABD droit, le triangle BCD fera ifofcele, par 6. 1. & toute la ligne A D fera double de la ligne BC, ou du Rayon A C, ce qui eft une des chofes qu'il faloit démontrer. Si on tire du fommet C du triangle ifofcele B CD, fur la bafe BD, la perpendiculaire CF, elle divifera cette bafe B Den deux parties égales F B, FD, dont chacune fera égale au Sinus CE; d'où il fuit que toute la ligne B D eft double de BF, ou CE fon égale, ce qui reftoit démontrer. COROLLAIRE. A E 0. Il fuit de cette Propofition, que fi on double le Rayon on aura la Secante de 60 degrez, & que fi on double le Sinus de 60 degrez, on aura fa Tangente. Il s'enfuit auffi que le quarré de la Tangente de 60 degrez eft triple du quarré du Rayon: car puifque la Secante A D eft double du Rayon A B, fon quarré fera quadruple de celuy du même Rayon A B, & puifqu'en ôtant le quarré du Rayon de celuy de la Secante A D, il refte par 47. I le quarré de la Tangente B D, & qu'en ôtant le fimple du quadruple il refte le triple, il eft de neceffité que le quarré reftant B D foit triple du quarré fimple A B. C'eft pourquoy fi on prend la Racine quarrée du triple du Rayon, on aura la Tangente de 60 degrez, dont la moitié en fera le Sinus, Le Rayon eft moyen, proportionel entre la Tangente d'un are Je dis premierement que le Rayon A B ou A C eft moyen proportionel entre la Tangente DE & la Tangente du com ୯ F A G plement C F. Car à caufe des lignes paralleles AB, CF, & des paralleles AC, BE, le triangle A BE fera femblable au triangle ACF, & par 4. 6. on aura cette analogie BE, AB:: AC, CF. Ce qu'il faloit démontrer. Je dis en fecond lieu que le Rayon A Dou AC, eft moyen proportionel entre le Sinus DG & la Secante du complement A F. Car on connoîtra comme auparavant, que le triangle A GD eft femblable au triangle ACF, ainfi par 4. 2. on aura cette analogie, DG2 AD: AC,AF. Ce qui reftoit à démontrer. COROLLAIRE Il fait de cette Propofition que fi on divife le quarrédu Rayon par la Tangente d'un arc, on aura la Tangente du complement, & que fi on divife le quarré du même Rayon par le Sinus d'un arc, on aura la Secante du complement. Il s'enfuit auffi que la Secante du complement eft quatrié me proportionelle au Sinus, à la Tangente, & à la Tangente du complement. C'eft pourquoy fi on multiplie la Tan gente d'un arc par la Tangente de fon complement, & qu'on divife le produit par le Sinus du même arc, on aura la Secan te de fon complement. Les Tangentes de deux arcs font reciproquement proportionelles aux Tangentes de leurs complemens. Je dis que la Tangente B H de l'arc B D eft à la Tangent BG de l'arc B E, comme la Tangente C I de l'arc C E com plement du precedent B E, à la Tangente CF de l'arc CD complement du premier B D. Car puifque par la Propofition precedente, le Rayon A B eft moyen proportionel entre les Tangentes BH, C F, & aufli entre les Tangentes BG, CI, Il fuit de cette propofition, que fi de deux arcs on multiplie la Tangente du fecond par la Tangente de fon complement, & qu'on divife le produit par la Tangente du premier, on aura la Tangente du complement du même pre mier. PROPOSITION XXIV. Les Sinus de deux arcs font reciproquement proportionels aux Secantes de leurs complemens. Je dis dans la figure precedente que le Sinus D L de l'arc BD cft au Sinus EM de l'arc B E, comme la Secante A I de l'arc CE complement du precedent B E, à la Secante A F de l'arc CD complement du premier B D. Car puifque par Prop 21. le Rayon eft moyen proportionel entre le Sinus DL & la Secante du complement AF, & pareillement entre le Sinus E M & la Secante du complement A I, le rectangle DLA F fera égal au rectangle E MAI, parce que chacun eft égal au quarré du Rayon, par 17. 6. C'eft pourquoy par 14, 6. les quatre lignes DL, EM, AI, A F, feront proportionelles. Ce qu'il faloit démontrer. COROLLAIRE. Il fuit de cette Propofition, que fi de deux arcs on multi |