COROLLAIRE.

Il fuit de cette Propofition, que fi des deux arcs A B, BK, dont la fomme eft un quart de cercle, on ajoûte à la Tangente AD ou KG du plus petit A B le double G E de la Tangente KI de leur difference K H ou B F, on aura la Tangente KE du plus grand K B, & que fi de la Tangente KE du plus grand K B, on ôte le double G E de la Tangente K I de leur difference, il refera la Tangente K G ou A D du plus petit A B.

Il s'enfuit auffi que la fomme L G des Tangentes KL de la difference K M des deux arcs A K, K B, qui enfemble font un quart de cercle, & de la Tangente A Bou KG du plus petit AB, eft égale à la Secante C L de la même difference KM. C'eft pourquoy fi on connoît la Tangente de la difference & celle du plus petit arc, on aura en la fomme de ces deux Tangentes la Secante de la même difference. Ainfi vous voyez que la Table des Secantes fe peut faire par la feule addition.

Il s'enfuit encore que la fomme K E de la Tangente KI de la difference K H des deux arcs A B, K B, qui, pris ensemble font un quart de cercle, & de la Secante CI ou I E de la méme difference KH, eft égale à la Tangente du plus grand arc K B. C'eft pourquoy fi on connoît la Tangente du plus grand arc & celle de leur difference, en ôtant la plus petite de la plus grande, on aura la Secante de la même difference. Ainfi vous voyez encore qu'on peut par la feule addition faire le canon des Secantes: Mais cela fe peut encore faire autrement par le moyen de la Propofition fuivante.

La Secante d'un arc eft égale à la fomme de la Tangente, & de la Tangente de la moitié de fon complement.

Je dis que la Secante F D de l'arc A B, est égale à la fom me DE de la Tangente B D du même arc A B & de la Tangente BE de l'arc BC moitié du complement BK du même arc A B. Car il est bien évident que l'angle E eft égal à l'an

Prop.

28.

KE

F

gle EFD, parce que le premier eft le complement de l'angle EFB, à caufe de l'angle droit B, & que le fecend eft le complement du même angle E FB, ou EFK, à caufe de l'angle droit KF D. C'est pourquoy par 6. 1. le côté F D fera égal au côté D E. Ce qu'il faloit de

montrer.

COROLLAIRE.

Il fait de cette Propofition, que fi à la Tangente B D de l'arc AB, on ajoûte la Tangente DE de la moitié de fon complement, on aura la Secante F D du méme arc A B. Ainft Vous voyez qu'on peut encore plus facilement qu'auparavant conftruire la Tabie des Secantes par la feule addition.

PROPOSITION

XXXI.

Etant connue la Tangente d'un arc, trouver la Tangente de lu moitié de cet arc.

Figure Pour trouver la Tangente B F de l'arc B C moitié de l'arc de la B D, dont on connoît la Tangente B E, ajoûtez au quarré de cette Tangente B E le quarré da Rayon A B, pour avoir en la Racine quarrée de la fomme la Secante A E, aprés quoy vous cherchez aux trois quantitez A BAE, A B, BE, une. quatriéme proportionelle, qui fera la Tangente B F qu'on cherche Car puifque la ligne A F divife l'angle B AE en deux également, on aura par 3. 6. cette analogie, A B, AE BF, EF, & en compofant on aura celle-cy, A B+ AB AB:: BE, B F.

OPOSITION XXXII.

Etant connue la Tangente d'un arc, trouver la Tangente d'un arc double.

Si on connoît la Tangente B F de l'arc B C, on trouvera la Même
Tangente BE de 1 arc double B D, par cette analogie.

Comme la difference des quarrez du Rayon A B & de la
Tangente BF,

Au quarré du Rayon AB;.

Ainfi le double de la Tangente B F,

A la Tangente B E.

La demonftration de cette analogie fe fera en cette forte. Parce que la ligne A F divife l'angle BAE en deux également,on aura cette analogie, A Bq, AEq:: BFq, EFq, & à cause de A E q égal à A Bq+ BEq, on aura celle-cy, AB q, ABq+ BEq:: BFq, EFq, & par converfion de raifon, on aura cellecy, ABq, BEq: BFq, EFq-BFq, & en permutant on aura celle-cy, A Bq, BFq:: B Eq, EFq-BFq, & à cause de B É q égal à BFq+ E EFq2BFE, par 4. 2. on aura celle-cy, A Bq, BFq::BFqEFq+2 BFE, EFq: BFq, & en divifant on aura celle-cy, A B q- BFq, ABq:: 2 BFq+2BFE, BFqEFq+2 BFE, & en divifant les deux derniers termes par BF EF, on aura cette derniere analogie, A B q- BFq, ABq:: 2BF, BF EF, ou BE. Ce qu'il faloit démon

tret.

-

figure.

Meme

PROPOSITION

XXXIII.

Etant connue la Tangente & la Secante d'un arc, trouver la
Secante d'un arc double.

Si on connoît la Tangente B F, & la Secante AF figure. de l'arc BC, on trouvera la Secante A E, de l'arc double B D, par cette analogie ;

Comme la difference des quarrez du Rayon A B & de li
Tangente B F,

An quarré de la Secante A F;

Ainfi le Rayon AB,

A la Secante AE.

La démonstration de cette analogie fe fera ainfi. Parce que la ligne A F divife l'angle B AE en deux également, on aura cette analogie, BF, EF:: AB, AE,& en compofant on aura-celle-cy,B F, BE:: AB, ABAE, & par confequent celle-cy, BFq, BEq ABq, ABq+2BAE AEq, & à caufe de BE q égal à A Eq-AB q, on aura celle-cy, BF q AEqABq: ABq, A B'q+2 BAE AE4,& en permutant on aura celle-cy,B F q,A Bq:: AEq ABq, ABq 2 BAE AEq, & en divifant les deux derniers termes par A B+ AE, on aura cellecy, B Fq, A Bq:: AEAB, AE AB, & c .compofant & en divifant on aura ces deux analogies, ABq+BFq, ou AFq, ABq:: 2 AE, AE÷ Ꭺ AB, & ABq-BFq, A Bq:: 2 A B, A B+ AE, defquelles on tirera aisément cette troifiéme analogic, A Bq BFq, AFq:: 2 AB, 2 AE, & en prenant les moitiez des deux derniers termes derniere analogie, A Bq-BFq, AFq:: AB, AE Ce qu'il faloit démontrer.

on aura cette

CHAP. III

CHAPITRE III.

De la construction des Logarithmes.

Es Logarithmes font des nombres en proportion Arithme

Lutique, correspondans à d'autres nombres en proportion

geometrique, defquels il font appellez Logarithmes, Comme il eft libre de prendre telle progreffion que l'on vondra, on choifira la plus commode, qui eft de prendre la progreffion decimale pour la proportion geometrique, & la progreffion des nombres naturels pour l'arithmetique, en forte que pourtant le premier nombre arithmetique, qui répond au premier geometrique, ou à l'unité, foit o, c'eft à dire que le Logarithme de l'unité foit o, pour rendre l'ufage des logarithmes plus facile: comme vous voyez dans cette Table, où le logarithme de rest

o, deio eft 1, de 100 est 2,de 1000 eft 3. & ainfi en fuite; & parce que dans la pratique on a besoin des logarithmes des nombres moyens 2, 3, 4, 5, &c. & que ces logarithmes ne peuvent être exprimez qu'en fractions, on fe fervira auffi de la progref Ifion decimale pour la fa

cilité du calcul, en ajoûtant un certain nombre de zeros à chaque terme de la progreffion arithmetique plus ou moins, felon que l'on voudra avoir des logarithmes plus ou moins exacts, comme vous voyez icy. Ainfi nous fuppoferons que le logarithme de ro eft 1. 0000000, que le logarithme de 100 eft 2. 0000000, de 1000 eft 3.0000000, &c. en fuite dequoy il faut trouver les logarithmes des nombres moyens 2, 3, 4, 5. &c. ce que nous ferons aprés avoir expliqué la nature & les proprie tez des logarithmes dans les Propofitions fuivantes.