De quatre quantitez en proportion Arithmetique, la fomme des deux extremes eft égale à la fomme des deux moyenes. D B B E Si les quatre quantitez AB, AC, AD, A E, font en proportion Arithmetique, en forte que l'excez B C de la feconde AC fur la premiere A B foit égal à l'excez DE de la quatriéme A B furla troifiéme AD; Je dis que la fomme AB+ AE des deux extremes est égale à la fomme A CA D des deux moyenes, parce que chacune eft com A A A A pofée de chofes égales, comme il est ai fé de voir De trois quantitez en proportion Arithmetique, la fomme des deux extremes eft égale au double de la moyene. Cette propofition est un Corollaire de la precedente, car quand on a trois quantitez arithmetiquement proportionelles, c'est comme fi l'on en avoit quatre, dont les deux moyenes fuffent égales, & alors la fomme des deux extremes eft par la Propofition precedente égale à la fomme des deux moyenes, c'eft à dire au double de la moyene. Ce qu'il faloit demon. trer. nia PROPOSITION III. La fomme des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithme de leur produit, lors que le Logarithme de l'unité eft 0. Propofons par exemple les deux nombres entiers 4, 6, dont le produit eft 24, Je dis que le Logarithme de 24 eft égal à la fomme des logarithmes de 4 & de 6, le logarithme de l'unité étant o Carpuis que 24 eft le produit de 4 & de 6, ces quatre nombresi, 4, 6, 24, feront en proportion geometrique, c'eft pourquoy leurs logarithmes feront en proportion arithmétique, & par Prop. 1. la fomme des deux extremes, c'est à dire la fomme des logarithmes de 1, & de 24, fera égale à la fomme des deux moyens, ou à la fomme des logarithmes de 4 & de 6, & parce qu'on fuppofe que le logarithme de 1 efto, le feul logaArithme de 24 fera égal à la fomme des logarithmes de 4 & de 6, qui produisent 24. Ce qu'il faloit demontrer. La difference des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithme de leur quotient, lors que le Logarithme de l'unité eft o... Propofons par exemple les deux nombres entiers 6, 24, dont le quotient eft 4. Je dis que le logarithme de 4 eft égal à la difference des logarithmes de 6 & de 24, le logarithme de l'unité étant o. Car puifque divifant 24 par 6, il vient 4, ces quatre nombres 1, 4, 6, 24, feront en proportion geometrique, & leurs logarithmes en proportion arithmetique, & l'on connoiftra comme auparavant, que le logarithme de 24 eft égal à la fomme des logarithmes de 6 & de 24: c'eft pourquoy fi du logarithme de 24 on ôte le logarithme de 6, la difference fera le logarithme de 4. Ce qu'il faloit demontrer, " PROPOSITION V. Le Logarithme d'un nombre est la moitié du logarithme de fon quarré, & le tiers du logarithme de fon cube, lorsque le logarithme de l'unité eft o Propofons par exemple le nombre 6, dont le quarré eft 36, & le cube eft 216, Je dis premierement que le logarithme de 6 n'eft que la moitié du logarithme de fon quarré 36. Car puifque le quarré 36 eft le produit de 6 pat 6, fon logarithme fera égal à la fomme des logarithmes de 6 & de 6, c'eft à dire au double du logarithme de 6, par Prop. 1.'d où il fuit que le loga rithme de 6 eft la moitié du logarithme de fon quarré 36, Co qu'il faloit demontrer, Je dis en fecond lieu que le logarithme de 6 eft le tiers du logarithme de fon cube 216. Car puifque 216 eft le produit de 6 & de fon quarré 36, fon logarithme fera par Prop. 1. égal à la fomme des logarithmes de 6 & de 36, c'est à dire au triple du logarithme de 6, parce que le logarithme de 36 a efté demontre double du logarithme de 6. D'où il fuit que le logarithme de 6 n'eft que le tiers du logarithme de fon cube 216. Cequi reftoit à demontrer. PROPOSITION VI. Trouver entre deux nombres donnez un moyen geometrique proportionel. Si on multiplie enfemble les deux nombres donnez, on aura par 20.7. le quarré du moyen, c'est pourquoy fi on prend la racine quarrée de ce produit, on aura le moyen qu'on cherche D'où il fuit que fi l'un des deux nombres donnez eft l'unité, n'y a qu'à prendre la racine quarrée de l'autre, pour avoir le moyen proportionel qu'on demande, PROPOSITION VII. Entre deux nombres donnez trouver un moyen proportionel il Si on ajoûte ensemble les deux nombres donnez, on aura pat Prop. 2. le double du moyen, c'eft pourquoy fi on prend la moi tié de cette fomme, on aura le moyen qu'on cherche. D'où il fuit que quand l'un des deux nombres donnez est o, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'autre, pour avoir le moyen qu'on cherche. PROPOSITION VIII, Trouver le Logarithme d'un nombre propose. Pour trouver le logarithme d'un nombre donné, comme par exemple de 9: parce que ce nombre 9 eft entre les nombres, 1, ro, dont les logarithmes font connus; Sçavoir o. 0000000, 1. 0000000, ou 0, 00000000, 1.000000000, en les augmentant chacun d'un zero, pour avoir plus exactement le logarithme qu'on cherche, faites ainfi. Entre 1 & 10, augmentez d'autant de zeros que leurs logarithmes en contienent, comme icy de fept zeros, pour avoir exactement dans le mefme nombre de figures le logarithme 16 qu'on cherche, Sçavoir entre A & B, trouvez un moyen geometrique proportionel C, lequel eftant moindre que 9. 0000000, il faudra chercher entre le moindre C & le plus grand B, un autre moyen proportionel D, qui est encore moindre que 9. 0000000: c'eft pourquoy entre le moindre D & le plus grand B on cherchera un troifiéme moyen proportionel E, entre lequel & le plus grád B on trouvera un quatriéme moyen proportionel F, qui eft icy encore moindre que 9. ooooooo: c'est il faudra trouver pourquoy entre le moindre F & le plus grand B, un cinquiémemoyen proportionel G, qui fe rencontre icy plus grand que 9.0000000, ainfi entre le plus grand G.. & le prochainement moindre F on cherchera un fixiéme moyen proportionel H, qui étant moindre on doit que 9. 0000000, chercher.entre ce moindre H & le prochainement plus. grand G, un feptiéme moyen proportionel I, qui Prop. Logarith. K 9. 05797770. 95703125 L 9. 0173333 0. 95507812 N L19.0173333 95410156 N9. 0072008 0. 95458984 9. 0021388 0.95434570 O 9.0021388 0.95434570 Q:9. 00087370. 95428467 R 19.0002412 10. 95425415 P8.9996088 0 95422363 95425415 R 9. 0002412 0. R19, 0002 412'0. 95425415 T9.0000831 0.95424652 V 9.0000041 0.95424271 eft bien plus grand que 9.0000000, mais non pas avec un fi grand excez comme le precedent G. C'eft pourquoy en cherchant entre le prochainement moin. dre & le prochainement plus grand des moyens geometriques proportionels, on aura des nombres qui ap procheront toûjours de plus en plus du nombre propofe 9.0000000, lequel enfin fe rencontre icy le 26, moyen proportionel: aprés quoy il fera facile de connoiftre fon. logarithme; car comme entre les nombres A, B, nous avons trouvé un moyen geometrique proportionel C, fi entre leurs logarith mes on trouve un moyen arithmetique proportionel, celuy cy fera le logarithme du premier moyen geome trique proportionel C. C'eft de la même maniere qu'on trouvera les logarithmes de tous les autres moyens geometriques proportionels, & par confequent du dernier 9. 0000000, ou du nombre propofé, dont lelogarithme fe trouvera tel, 0.95424251. C'eft de cette même maniere qu'on trouvera les logarithmes des autres nombres entre 1 & 9,& des nom |