eft la droite CF; & que la Secante de l'arc A DE ch droite E M..

Vous remarquerez que tout Sinus, toute Tangente, & tou te Secante apartiennent à deux arcs, lefquels pris ensemble font toûjours un demi-cercle, ou 180. degrez. Ainfi on void évidemment par la définition du Sinus, que la droite E G eft auffi-bien le Sinus de l'arc A E que de l'arc EB, lefquels fort enfemble le demi-cercle A D B. Il en eft de même de la Tangente & de la Secante, parce que la Tangente BF de l'arc E B eft égale à la Tangente AM de l'arc A DE, & que pareillement la Secante CF de, l'arc E B eft égale à la Secante

CM de l'arc A DE.

12. Le complement d'un arc ou d'un angle, c'eft ce dequoy il differe du quart de cercle, ou de 90 degrez, foit par de faut, ou par excés. Ainfi le complement de l arc E B eft l'arq ED, par lequel il differe du quart de cercle B D, & le com plement de l'arc A E eft le même arc ED, par lequel il dif fere du quart de cercle A D. C'est pourquoy la droite EH fera dite le Sinus du complement de l'arc EB, & du même arc E B la Tangente du complement fera la droite DI, & l Secante du complement fera C I.

Le Rayon ou le Sinus total, c'eft le Sinus de l'angle droit, ou du quart de cercle, c'est à dire de 90 degrez. On le nom me Rayons parce qu'il eft égal au demi diametre, & on lapelle Smus total, parce qu'il eft le plus grand de tous les Si nus. Ainfi la droite C D étant le Sinus du quart de cercle BD ou A D, ou de l'angle droit BCD, ou A CD, eft appellé Rayon ou Sinys total, lequel eft bien égal au demidiametre AC, ou BC, comme vous voyez.

CHAPITRE II.

De la conftruction des Tables des Sinus, des Tangentes, & des Secantes.

Nvoit évidemment que la quantité des Sinus, des Tan gentes & des Secantes dépend de celle du Sinus total, ou

J

du demidiametre du cercle qu'on a décrit. Ainfi le Sinus, la Tangente & la Secante de quelque arc que ce foit ont au Sinus total une certaine raifon qui ne change jamais. C'est pourquoy ayant une fois connu la grandeur de ces lignes pour un Sinus total d'ane grandeur déterminée, on les pourra connoître facilement par la Regle de trois pour le Sinus total de quelqu'autre grandeur qu'on le voudra fuppofer.

Les Anciens divifoient le Rayon en 60 parties égales, & ils cher hoient combien de femblables parties contenoient les Sinus des degrez du quart de cercle. Mais comme ce nombre de 60 parties feulement eft trop petit, pour avoir au jufte & fans une erreur fenfible la quantité des Sinus, à caufe des frations que l'on neglige, & des nombres irrationaux qui fe rencontrent ordinairement dans cette fupputation, les MoBr dernes ont fuppofé le Rayon de beaucoup plus de parties, afin que l'erreur qui doit provenir des Nombres Artationaux, & des fractions negligées, ne foit pas fenfible dans un G grand nombre de parties & ils le fuppofent ordinaibement de 10000000 parties, & dans cette fuppofition.ils. ont fuppu ré la quantité non feulement des Sinus, mais encore des Tangentes & des Secantes des degrez des minutes du quart de cercle, dont ils ont fait des Tables, communément appellées les Tables de Sinus, dont nous allons enfeigner en peu de mots la conftruction dans les Propofitions fuivantes.. 5 ¶ 2

Les deux rectangles fous les côtez oppofez d'un quadrilatere inferit au cercle font ensemble égaux au rectangle fous les Diagonales, rem bjm

Soit un quadrilatere dans un cercle A B C D, avec fès deux diagonales AC, B D. Je dis que le rectangle fous les deux côtez opposez A B, CD, & le rectangle fous les deux autres côtez oppofez AD, BC, font ensemble égaux aμ rectangle fous les diagonales A C, B D.

Car fi on fait l'angle A B E égal à l'angle DBC, les deus

triangles A BE, DBC, feront femblables, à caufe de l'angle ABE égal à l'an gle DBC, par la conftru ction, & de l'angle BAE égal à l'angle BDC, par 21. 3 & par 4. 6. on aura cette analogie, AB, AE :: BD, CD, & par 16.6. le rectangle ABCD fera égal au rectangle A EBD Les triangles BCE, ABD, feront auffi femblables, à caufe de l'angle B CE égal

BD::

EC,

à l'angle B DA, par 21. 3. & de l'angle A B D égal à l'angle EBC parce que chacun eft composé de l'angle commun E B D & de l'un des deux égaux A BE, DBC: c'cft pour quoy par 4.26. on aura cette analogie, AD, BD & par 16. 6. le rectangle A DBC fera égal au rectan gle DBEC; & parceque le rectangle ECBD avec le rec }\s c• tangle As B D eft égabau rectangle ACBD par 1. 2. fuit que le rectangle ACB D eft égal aux deux A DBC, A B C D. Ce qu'il faloit démontrer, noifonlowo 22105 PROPOSIT E Q N x

Etant connue la corde d'un arc, trouver la corde du complement. soulihan mah pilogo modo 24 Nous fuppoferons par _ _uso yang shootout le Rayon ou le de

midiametre du cercle de 10000000 parties ecplutôt de 10000000, 00

parties, afin que l'erreur qui viendra par les frac tion's negligées, & par Ales Nombres irrationaux, demeure dans ces deux dernieres figures. qu'ainfi étant ôtées à la

&

C

ہے

fin du calcul, on ait autant exactement qu'il eft poffible la valeur de la ligne qu'on cherche pour un Rayon de 10000000 parties, en le fouverant neanmoins qu'il faut ajoûter une unité à cette valeur, lorfque les deux figures qu'on rejettera à la droite furpafferont so; car ainfi on aura une valeur plus proche de de la veritable.

Suppofant donc que le diametre A B foit de 20000000. 00 parties, & que dans ces mêmes parties on connoiffe la corde BC de l'arc BDC, on trouvera la corde du complement AC, qui par 1. 3. eft perpendiculaire à la corde B C, en ôtant du quarré du diametre A B le quarré de la corde connue BC; car il reftera le quarré de la corde du complement AC, par 47. 1. c'eft pourquoy fi on prend la racine quarrée de ce refte, on aura la corde AC qu'on cherche.

Etant connu le Sinus d'un arc, trouver le Sinus de fon complement.

Pour connoître le Sinus du complement DF de l'arc BD, dont on connoît le Sinus D B, dans le quart de cercle A BC, le double du Sinus DE fera la corde d'un arc double, & fi par la Propofition precedente on trouve la corde du complement de cet arc double, la moitié de cette corde donnera le Sinus du complement D F, ou A E qu'on cherche.

A

EB

Ou plus facilement, tirez le Rayon AD, & ôtez de fon quarré le quarré du Sinus DE, il reftera le quarré du Sinus du complement A E, par 47. 1. C'est pourquoy fi on prend la Racine quarrée de ce refte, on aura le Sinus du complement qu'on cherche.

PROPOSITION IV.

Etant connue la corde d'un arc, trouver la corde d'un arc double.

A

B

Pour connoître la corde AC de l'arc ABC dou ble de l'arc A B, dont on connoît la cordé A B, tirez par le point Ble diametre BD, & par le point D les deux cordes du complement A Di CD, qui feront égale à caufe des deux cordes é gales AB, BC. On cherchera par Prop. 2, les cordes du comple ment A D, CD, & par l

ceque le rectangle ABCD avec le rectangle ADBC, c'eft à dire le double rectangle A B C D, eft égal au rectangle ACBD, par Prop. 1. ou le feul rectangle A B C D égal au rectangle fous le Rayon & la corde A C; fi on multiplie la corde connue A B par la corde D du complement, & qu'on divife le produit par le Rayon, on aura la corde AC qu'on cherche.

ว

PROPOSITION

V.

~ Etant connu le Sinus d'un arc, connoiftre le Sinus d'un arc double.

Si on double le Sinus connu, on aura la corde de l'arc double, & par le moyen de cette corde & de la corde du comple ment, qui fe peut trouver par Prop. 2. on pourra trouver la corde d'un autre arc double par cette analogie, qui fe tire de la Propofition precedente;

Comme le Sinus Total,

A la corde connue ;
Ainfi la corde au complement,
A la corde de l'arc double.

C'eft

C

C