que par 15. 1. Theod. l'angle ACB eft aigu. D A l'angle B C D est droit, d'où il fuit que Je dis en fecond lieu, que fi le cofté AB du triangle Spherique A B C, re&tangle en B, eft plus grand qu'un quart de cercle, fon angle oppofé C eft obtus. Car fi on retranche de ce costé AB, le quart de cercle BD, & l'on que tire comme auparavant, l'arc de grand cercle C D, on connoistra de la même façon, que l'angle BCD) est droit, & que par confequent l'angle A C B eft obtus. Ce qu'il faloit démontrer. B THEOREM E X I. Si les deux coftez d'un triangle Spherique rectangle font de mesme affection, l'hypotenuse fera moindre qu'un quart de cercle, & plus grande s'ils font de differente affection. D B Suppofons premierement que chacun des deux cofte'z A B, BC, du triangle Spherique ABC rectangle en B, eft moindre qu'un quart de cercle. Cela eftant je dis que l'hypotenufe A Ceft moindre qu'un quart de cercle. Car fi on prolonge AB, BC, en D & en E, en forte que les arcs BD, CE, foient des quarts de cercle, & que par les poins D,E, on tire l'arç de grand cercle DE, qui coupe l'hypotenuse AC prolongée en F, on connoiftra, par is. 1. Theod. que puifque l'angle B eft droit, & l'arc B D un quart de cercle, l'angle E eft auffi droit, parce que le point D eft le pole de l'arc CE : & pareillement que puifque l'angle E eft droit, & l'arc CE un quart de cercle, le point C eft le pole de l'arc D E, & que par confequent l'arc CF eft un quart de cercle, D'où il fuit que l'hypotenufe AC eft moindre qu'un quart de cercle, Cequ'il faloit demontrer, F D quarts La demonstration fe fera de la mêmefa çon, que lors que les côtez A B, BC,feront chacun plus grand qu'un quart de cercle. Car fi on en retranche les de cercle B D, CE, & que par les poins D,E, on tire comme auparavant l'arc de grand cercle D E, qui eftant prolongé coupe l'hypotenuse AC auffi prolongée en F, on connoiftra comme auparavam, que l'arc C F eft un quart de cercle, & que par confequent l'hypotenule AC eft moin dre qu'un quart de cercle. Ce qu'il faloit demontrer, Suppofons maintenant, que le côté AB est moindre, & l'au-' tre cofté BC plus grand qu'un quart de cercle, Dans ce cas je dis que l'hypotenufe AC eft plus grande qu'un quart de cercle. D E E B Car fi on retranche du plus grand cofté BC, le quart de cercle CE, & qu'on prolonge le plus petit AB en D, en forte que BD foit un quart de cercle, en tirant parles poins D, E l'arc de grand cerce DE, il coupera l'hypotenule AC en F entre A & C, & par un rai fonnement femblable au prece B dent, on connoistra que l'arc CE eft un quart de cercle, & que par confequent l'hypotenufe A Ceft plus grande qu'un quart de cercle. Ce qu'il faloit demontrer. COROLLAIRE. 1. Il fuit de cette Propofition, que fi dans un triangle sphe rique rectangle les deux angles obliques font de mefme affection, l'hypotenuse fera moindre qu'un quart de cercle, & plus grandes ils font de differente affection, parce que ces angles font de mefme affection que leurs coftez oppofez par Theor. 10. 2. Il s'enfuit auffi que fi l'hypotenuse d'un triangle Spherique reangle eft moindre qu'un quart de cercle, les deux coftex feront de mefme affection; & de differente affection, fi elle est plus grande qu'un qu'un quart de cercle, parce que fi les deux coftez étoient de differente affection, l'hypotenufe feroit plus grande qu'un quart de cercle, comme il a efté demontré, ce qui eft contre la fuppofition, & que fi les deux coftez étoient de même affection, T'hypotenufe feroit moindre qu'un quart de cercle, comme il a été auffi demontré, ce qui eft encore contre la fuppofition. 3. Il fuit encore de ce Corollaire que fi l'hypotenuse d'un triangle Spherique rectangle eft moindre qu'un quart de cercle, les deux angles oblique's feront de mefme affection, de differente affection, fi elle eft plus grande qu'un quart de cercle, parce que les angles obliques font de même affection que leurs côtez opposez, par Theor.io. 4. Il s'enfuit de plus que fi l'hypotenuse & un cofté d'un triangle Spherique rectangle font de mefme affection, l'autre côté fera moindre qu'un quart de cercle, & plus grand s'ils font de differente affection. Car fuppofant premierement que l'hypotenuse & un cofté foient de même affection s'ils font chacun plus grand qu'un quart de cercle, l'hypotenufe étant plus grande qu'un quart de cercle, les deux côtez feront de differente affeЯtion par Coroll. 2. & comme il y en a un qui eft supposé plus grand qu'un quart de cercle, l'autre fera moindre : & s'ils font chacun moindre qu'un quart de cercle, les deux coftez seront de mesme affection, par Coroll. 2. & comme l'on en fuppofe un aigu, l'autre fera auffi aigu, Mais fuppofant quel'hypotenufe & un cofté foient de differente affection, fi l'hypotenufe eft plus grande qu'un quart de cercle & l'autre cofté moindre, les deux coftez feront de differente affection, par Coroll.2.& comme il y en a un qui eft fuppofé aigu, l'autre fera obtus : & fi l'hyponufe eft plus petite & un côté plus grand qu'un quart de cercle les deux côtez feront de mefme affection par Coroll. 2. & comme l'on en fuppofe un obtus, l'autre fera aigu. 5. Enfin il fuit de ce corollaire, que l'hypotenuse & un côté d'un triangle fpherique rectangle font de mefme affection, l'angle op pofé à l'autre côté fera aigu, obtus s'ils font de differente affe tien, parce que cet angle eft de mefme affection que fon côté oppofé, par Theor. Io. K B Siuntriangle Spherique a deux angles de mesme affection, laper. pendiculaire qui tombe du troifiéme angle fur fon cofté oppoje, tombera au dedans du triangle: & au dehors fi ces deux mêmes angles font de differente affection. A Je dis premierement que f les deux angles B, C, du trian gle Spherique ABC, font de même affection, comme fi par exemple ils font aigus, la per pendiculaire AD tombera au dedans du triangle ABC. Car fi elle tomboit au dehors, elle feroit par Theor.10. moindre qu'un quart de cercle dans letrian gle rectangle ADB; parce que fon angle oppofé B eft fuppofe aigu,& plus grande qu'un quart de cercle dans le triangle rectan gle ADC, parce que fon angle oppofé ACD eft obtus, puifque l'angle ACB eft fuppolé aigu, ce qui eft contradictoire. La meme contradiction s'enfuivra en fuppofant les deux angles B, C obtus, Donc, &c. Je dis en fecond lieu, que files deux angles B, C, font de differente affe ction, comme fi l'angle B eft obtus, & l'angle C aigu, la perpendiculaire AD tombera au dehors du triangle ABC, parce que fi elle tomboit au de dans, elle feroit par Theor. 10. grande qu'un quart de cercle dans le parce que fon angle oppofé B eft fuppofé obtus;& moindre qu'un quart de cercle dans le triangle retangle ADC, parce que fon angle oppofé C est suppose aigų; Ce qui eft contradictoire, Donc, &c. D triangle rectangle ADB plus C 3 C THEOREM E XIII. Si les deux angles & le côté d'entre-deux d'un triangle Spherique B E Pour demontrer › que fi les deux angles A, C, & le cofté d'entre-deux A C, du triangle Spherique ABC, font obtus, le troifiéme angle B eft auffi obtus, -il faut demontrer qu'il ne peut pas être aigu ny droit. Pour cette fin prolongez les coftez AB,BC, jufqu'à ce qu'ils ferencontrent en E, & tirez de l'angle A, fur le cofté EC la perpendiculaire AD. Cette preparation étant faite on confiderera, premierement que fi l'angle B étoit aigu, fon égal E ferait auffi aigu, & par Theor. 12. la perpendiculaire AD tomberoit au dedans du trianangle EAC, parce que l'angle ACE eft auffi aigu, puifque l'angle ACB eft fuppofé obtus, & parce que l'hypotenufe AC du triangle rectangle ADC eft fuppofée plus grande qu'un quart de cercle, les deux angles ACD, CAD, feront de differente affection, par Coroll. 3. Theor. 11. C'eft pourquoy l'angle, ACD étant aigu, l'angle C A Dfera obtus, & conféquemment plus grand que l'angle, CAE, qui eft aigu, parce que l'angle BAC eft fuppofé obtus, ce qui eftant impoffible, il est impoffible auffi que l'angle B foit aigu. Ce qu'il faloit premierement demontrer. Si l'angle B étoit droit, fon égal E feroit auffi droit, & dans le triangle rectangle ACE, dont l'hypotenuse A Ceft supposée plus grande qu'un quart de cercle, on connoiftra comme auparavant que l'angle CAE eft obrus, & confequemment l'angle CAB aigu, ce qui eft impoffible parce qu'on le fuppofe obtus. Il eft donc impoffible auffi que l'angle Bfoit droit. Ce qui reftoit à démontrer. SCOLIE On demontrera de la mefme façon que fi deux angles d'un triangle spherique font de differente affection, & le cofté d'entre deux Kij |