qu'en multipliant les côtez des polygones régu liers, on en peut faire de circonfcrits & d'inf crits, en forte que la difference, dont le circonfcrit furpaffera le cercle, ou dont le cercle furpaffera l'inferit, foic auffi perire que l'on voudra; parce que fi de quelque quantité que ce foit, on ôte plus de la moitié, & da réfidu, encore plus de la moitié, & derechef plus de la moitié encore du réfidu, & ainfi bd plufieurs fois, on viendra enfin à laiffer un refidu auffi petit' que C l'on voudra: ce qui eft naturellement connu. Ainfi, aprés avoir infcrit un triangle, qui fera plus perit que le cercle de trois grands fegmens, on peut inferire un hexagone, qui fes ra plus grand que n'étoit le triangle; mais qui fera encore plus petit que le cercle de fix petits fegmens qui font icy blancs. Or ces fix petits fegmens tous ensemble ne contiennent pas tant d'efpace, que la moitié des trois premiers fegmens. (4. 28.) Aprés- quoy on peut encore inf crire un dodécagone, qui fera furpassé par le cercle de douze petits fegmens: mais tous ces douze ensemble ne vaudront pas la moitié des fix fegmens de l'hexagone ; & ainfi on peut, en multipliant les côtez des polygones, diminuer tant que l'on voudra la difference dont le cercle furpaffera ce polygone inferit. De même aprés avoir circonfcrit un triangle, on peut circonfcrire un hexagone, & puis un dodecagone, & une figure de ving-quatre côtez, ¿c. 31. Tout cercle eft égal à un triangle rectan gle, dont une jambe est le démi diametre, & l'autre une ligne droite égale à la circonference du cercle. Car ce triangle fera plus grand que tout polygone infcrit, & plus petit que tout po lygone circonfcrit: (par la 24 25 26.\& 27. du 4 ) Donc il fera égal au cercle. Car s'il étoit plus grand, pour petite qu'en fût la difference. on pourroit faire un polygone circonfcrit, dont la difference avec le cercle feroit moindre que la difference du même cercle avec ce triangle rectangle ainfi ce polygone circonfcrit feroit plus perit que ce triangle; ce qui eft abfurde. De même, fi ce triangle étoit plus petit que le cercle, on pourroit faire un polygone infcrit, qui feroit plus grand que ce triangle; ce qui eft impoffible. : Cette forte de démonstration que nous venons d'employer, & qu'on appelle de l'impoffible, eft une des plus belles inventions de l'antiquité; & toute la Geométrie indivifibles, eft fondée làdeffus de forte qu'il y a fujet de s'étonner, que quelques nouveaux Auteurs l'ayent rejettée comme défectueuse & indirecte. Que fi l'on en vient à ce point de délicateffe, que de ne pouvoir fouffrir une démonftration, fi elle ne prouve directement & pofitivement; il fera fort aifé de donner à celle-cy un tour qui la rende réguliere & directe car on n'a qu'à pofer pour principe, que fi deux quantitez déterminées a & b font telles, que tout autre quantité imagi nable, qui feroit plus grande ou plus petice que b, feroit auffi plus grande ou plus petite que a, ces deux quantitez a & b font égales. Et ce principe pofe, qui est en effet tres-manifefte de foy-même, on prouvera directement que ce triangle eft égal au cercle, puifque toute figure imaginable infcrite ) plus petite que le cercle, eft auffi plus petite que le triangle; que toute figure (circonfcrite) plus grande que Le cercle est auffi plus grande que le triangle. , C'est ce qu'on appelle la quadrature du cer cle, qui ne confifte qu'à faire un quarré, on bien un triangle ou une autre figure rectiligne égale au cercle; ce qu'on feroit, fi l'on pouvoit trouver une ligne droite égale à la circonferen ce, comme il paroît en cette propofition; mais cette égalité n'a jamais été trouvée geométri ¿quement. 32. Une ligne étant difpofée en cercle, tiendra plus d'efpace qu'en toute autre figure polygone réguliere que ce foit. Si la circonference du cercle a b c d fe difpofe en quarré, ou ca a q quelque autre polygone régulier, en forte que tous les côtez eg, gh, hi, ie, enfemble foient égaux à la circonference a b c d ; je dis que tout ce cercle fera plus grand que le polygone. Car le cercle eft égal au triangle, dont un côté eft la circonference, & l'autre côté eft le demi-diametre fa& le polygone eft égal au triangle, dont un côté eft aufli la même circonference a bcd, ou les côtez e g h i, & l'autre côté eft f 9, (4.25.) Et comme fo eft plus petit que fa, tout ce fecond triangle égal au polygone fera plus petit que le premier triangle égal au cercle: & par confequent ce polygone fera plus petit que le cercle; ce qu'il falloit prouver. C'est ce qu'on entend, quand on dit communément, que de toutes les figures Ifoperimetres, ou qui ont les circonferences égales, la plus grande eft le cercle. Ufuron anUN Ne ligne droite eft dite fimplement droite fur un plan,ou érigée sur un plan à gles droits, lorfqu'elle n'eft point inclinée fur ce plan plus d'un côté d'un autre, comme une colonne fur le pavé. que 2. Deux plans font paralleles, quand toutes les perpendiculaires ou droites, tirées entre les deux plans, font égales. 3. Un plan eft perpendiculaire ou droit fur un autre plan, quand il n'est ché plus d'un côté muraille fur le fol. pas incliné ou panque d'un autre, comme une 4. L'Angle folide fe fait quand trois ou plufieurs plans fe joignent en aboutiffant à un point, comme la pointe d'un diamant bien taillé. 5. Si l'on imagine la li gue ab, fixe au point a, & qu'elle foit meue tout le long des côtez d'un polygo-d ne bed, cette ligne par ce mouvement décrira une figure qui s'apelle Pyramide. C CL a 6. Le Polygone s'apelle la bafe de la pyramide. 7. Si la ligne ab le meut le long d'un cercle b c d, elle décrit un Cone,dont ce cercle eft la bafe; & la ligne tirée de la pointe a au centre du cercle e eft l'axe. de C a g a 8. Si la ligne ab fe meut uniformement auhtour de deux polygones b c d, afg, qui foient tout-àfait égaux,ayant leurs côtez & leurs angles égaux mutuellement, & que ces polygones foient paralleles, en forte que les côtez égaux fe répondent parallelement, a fà bc, fgà cd, &c. Alors cette ligne par fon mouvement fera une figure qui s'appelle Prifmes & les polygones en font les bafes. C 9. Si les bafes du prifme font des parallelogrammes, il s'apelle Parallepipede. b 10. Si la ligne a b fe meut uniformement autour de deux cercles égaux & paralleles, elle décrit un Cilyndre. II. La ligne qui joint les centres e e des bafes,eft l'axe du Cilyndre. 12. Dans toutes ces figures, lorfque l'axe eft perpendiculaire for la bafe de c, les figures font apellées Ifofceles; mais fi l'axe eft incliné elles font Sca lenes. a 13.Si un demi cercle a db tourne autour de fon diametre a 'b, il décrit une Sphere ou un globe, dont l'axe eft at: le centre c, le même que celuy du demi-cercle. Toute b ligne tirée par le centre c, & ter'minée de part & d'autre par la furface de la fphere, |