le petit, en forte que 25. quarré du grand côté fera égal à 16. & à 9. quarrez des deux autres côtez. De même, fi je prens 2. & 3. & que joignant leurs quarrez 4. & 9. je faffe 13. je dis que j'aurai 13. & 12. & f. pour côtez d'un triangle rectangle, enforte que 169. quar ré de 13. fera égal à 144. & 25. quarrez de 12. & de 5. De même, prenant 3. & 4. & joi gnant leurs quarrez 9.& 16 je fais 25. je dis que 25. fera le grand côté du triangle, 24. le côté mediocre & 7. le petit.

Tout cela fe trouve plus facilement en cette forte.

46. Si l'on range les unitez en fautoir, tous

....0....

les nombres qui feront une figure quarrée feront des nombres propres à exprimer le grand

41

côté. Le petit côté fera le nombre compris dans les deux premiers rangs de la figure quarrée, & le côté médiocre fera d'une unité moindre que le plus grand.

47. Cette figure continuée donnera tous les nombres poffibles: mais il faut remarquer que les équimultiples des trois nombres trouvez auront le même effer; comme ayant trouvé 5. 4. & 3. leurs doubles 10. 8. & 6. reprefenteront les trois côtez du triangle, en forte que 100. quarré de 10. eft égal à 64. & 36. quarrez de 8. & de 6. & de même leurs triples 15. 12.9. feront la même chose: mais l'on voit bien que tous ces nombres ayant toûjours les mêmes proportions, n'expriment jamais qu'un même triangle, fçavoir, celui qui eft exprimé par 5. 4. & 3. & qu'ainfi tous ces nombres doivent être cenfez lcs mêmes.

• UNE

Progreffion eft une fuite de quantitez qui gardent entre elles quelque forte de rapport femblable; & chacune de ces quantitez s'appelle Terme.

2. Lorfque les termes qui fe fuivent ainfi les uns après les auties, augmentent ou diminuent également la Progreffion s'appelle arithmeti que, comme font les nombres naturels 1. 2. 3. 45. ou bien les nombres impairs 1. 3. 5. -7.9. 11. &c. ou bien encore comme 4. 8. 12, 16. ou comme 20. 15. 10. 5.0.

3. La Progreffion arithmetique peut augmen ter à l'infini, mais non pas diminuer.

4. Si dans une Progreffion arithmetique on prend quatre termes, dont les deux premiers foient éloignez l'un de l'autre autant que le font les deux derniers; ces quatre termes font dit proportionnels en proportion arithmetique, comme dans laProgreffion des nombres naturels 7.2.3.4.5.6.7.8.9.c.Si nous prenons 2 3:::9. 10. (cette marque::: nous fervira de figne pour la proportion arithmetique)il y aura même proportion arithmetique entre 2.& 3. qu'entre 9.& 10. c'est-à-dire, que 10. furpaffe 9 de tout autapt que 3. furpaffe 2. De même 3. 5:::8. 10. font en proportion arithmetique. Comme auffi repeté deux fois, eft le moyen arithmetique 1. 5.::: 5. 9. ou 5. étant entre 1. & 9. 5. Dans la proportion arithmetique l'aggregé

des

des deux extrêmes eft égal à l'aggregé des deux moyens,comme dans 2.3 ::: 9.10.l'aggregé de 2. & de 10. eft 12. & l'aggregé de 3.& de 9. eft auffi 12. De même, dans 3.5::: 8. 10.l'aggregé de 3. & de 10.eft 13. & l'aggregé de 5. & de 8. eft auffi 13. Et la raison de ceci eft assez claire d'elle-même ; car fi 10. furpaffe 8.auffi ce qu'on ajoûte à 8.fçavoir, s. furpaffe de tout autant ce qu'o ajoûte à 10.fçavoir, ainfi on fait l'égalité. 6. L'aggregé ou la fomme du premier & du dernier terme eft égal à la fomme du 2. & du penultiéme,ou du troifiéme de l'antepenultiéme, r.comme dans le premier exemple 1.& 9.font 10. & de même 2.& 8. ou bien 3.& 7.00 4.& font toûjours 10. & il refte au milieu 5. qui étant pris deux fois comme équivalent à deux, puifqu'il eft également éloigné du premier & du dernier) fait auffi 10.

&

que

>

7. Si l'on ajoûte le premier au dernier terme, l'on multiplie leur fomme par la moitié du nombre des termes, le produit fera égal à · l'aggregé de tous les termes enfemble,comme ici ajoûtant 1. à 9. pour avoir 1o. & multipliant 10. par 4. 8( car il y a 9. termes)

2

on fera 45.qui eft la fomme de tous les termes depuis 1. jufqu'à 9. Ceci eft manifefte par la precedente.

8. Lorfque les termes de la progreffion font continnellement proportionnels; c'eft-à-dire, que le 1. eft au 2. comme celui-ci est au 3. & comme le 4.au . . alors la Progreffion s'ap-. pelle Geometrique, comme 1. 2. 4. 8. 16. 32. ou bien 1. 3. 9. 27. 81. ou bien 3. 12. 48. 192.768. ou bien 8. 4. 2. I, 24816.00.

I I I I

H

#1

9. La Progreffion geometrique peut augmen ter & diminuer à l'infini.

10. Lorfque la Progreffion commence par 1. le fecond terme s'appelle Racine ou Cofté: le 3e s'appelle Quarré ou ze degré : le 4e Cube ou 3e degré le se QQuarré-Cube ou 4e degré, le 6e Surfolide ou se degré, le 7e Quarré-Cube,

:

11. Si l'on prend quatre termes,dont les deux premiers foient autant éloignez l'un de l'autre dans la progreffion, que le font les deux derniers, ils feront fimplement proportionnels, & le produit des extrêmes fera égal au produit des moyens. (6. 28.)

12. Soit la quantité A B divifée en C, en D, en E, en F,. en forte que A B A C ; : A C. AD::AD. AE, &c. je dis que B C. CD, D E. EF, &c. feront en progreffion geometrique continuellement proportionnels, & même que G F E C

A

D

B

AB. AC: BC. C D :: CD, DE, &c. car puifque A B. AC:: AC. AD, il fera dividendo A B moins A C. ( c'est-à-dire, CB.) AC:: AC moins AD, ( c'est-à-dire, DC.) A D. & par confequent alternando CB. DC:: AC. AD. ou :: A B. A C. ainfi de toutes les autres, on prouvera :: D C. ED::FE::G. F, &c.

13.Soit une progreffion de quantitez en ligne droite BC, CD, DE, EF, &c. foit prife C d égale au fecond terme C D, afin d'avoir d'Bla difference du premier & plus grand terme au fecond,& que l'on faffe comme Bd à BC:: ainf BC. à une 4 ligne, fçavoir, B A, je dis que le nombre des termes BC, CD, DE,¿‚¢st £•