Car fi une chaîne compofée de petits anneaux fort délicats étoit dans la figure ab A, en tirant les tangentes par b,fçavoir b D, & par a fçavoir a D, ces deux tangentes fe couperoient en D dans la ligne de direction D C,de la chaîne a Cb par la precedente propofition. ) Car on peut imaginer que la chaîne eft maintenant arrêtée en & enb: & alors cette partie a C b demeureroit dans la même fituation qu'elle étoit étant attachée librement aux feuls bouts a & A. Ainfi le centre de gravité de la chaîne. a b feroit en C. Or fi la figure a Cb étoit parabolique la ligne DCE diviferoit a Fen deux également, mais la partie de la parabole. a C feroit plus grand. que Cb: & il eft fort aifé de démontrer que le centre de gravité de la parable ab ne peut pas être en C.

LXXVI. En quel cas un filet fe courberoit en parabole.

Mais fi nous concevions un filet fans pefanteur, fur lequel fuffent appuyées une infinité de lignes également pefantes EC, ec, paralleles, (fig, de la page 280.) & également diftantes les unes des autres alors le filet a Cb A feroit parfaitement parabolique car le centre de gravité de toutes ces lignes péfantes feroit dans la ligne Fb B, c'est à dire, au milieu de a A. Ainfi les tangentes a B, A B fe couperoient en cette ligne Fb B. De même le centre des lignes qui font entre a & F, eft dans la ligne E C, c'est à dire, au milieu entre a & F. Ainfi les tangentes b D, a D fe devront croifer dans cette ligne ECD. De même les tangentes b d, Cdfe croiferont dans la ligne e cd, c'eft..

A a

à dire, au milieu entre E & F, &c. Or c'est là une proprieté de la Parabole, & les Geometres fçavent qu'il n'eft point d'autre ligne où cela fe rencontre.

LXXVII. Quelles cordes peuvent fe courber en Parabolė.

Imaginons maintenant que la pefanteur de toutes ces lignes paralleles, (figure de la page 280.) eft diftribuée également à toute une cor. de droite a A, attachée par les deux bouts ; que cette corde eft capable de s'allonger étant ti rée ; que toutes ces parties tendent en bas par des lignes de direction paralleles : alors la corde fe rallongeant, fe courbera en effet, en pa jerabole; car tout le poids qui étoit en e F, ra en cb; celui de E e fera en Cc, & celui d'a e fera en a c, &c. Ainfi la partie de la corde ac fera plus rallongée que cb, puifqu'on fuppofe que toutes ces parties, defcendent en bas par des lignes paralleles, & que par quent la partie & le poids a e eft égal à la partie & au poids a c, comme auffi le poids e F égal au poids cb.

LXXVIII. Cas particuliers où les cordes. feroient courbées en parabole, & cas où elles ne le feroient pas..

Si l'on tendoit bien une corde par les bouts A, en l'appuyant tout le long par deffous, en forte que fa pefanteur ne pouvant la tirer en bas, elle fût tendue en ligne droite ; & fi enfuite on venoit à ôter les appuis, & à laiffer

faire fa pefanteur, cette corde dévroit fe rallonger un peu, & fe courber ; & fa courbure feroit alors parabolique. Ceci fuit des precedentes propofitions, car les parties de cette corde ne le baiffant que par l'effort de leur pefanteur,qui les fait rallonger, elles doivent defcendre fuivant leurs lignes de direction, qui font cenfées paralleles, puifqu'elles ne fe rallongent qu'autant que leur pefanteur les

tire.

LXXIX. Cas aufquels les cordes fe courbent en Hyperbole & en Ellipfe.

Si l'on fuppofe que les lignes de direction F. b, EC, ec, ne font pas paralleles, mais qu'el les concourent en bas au point B,la corde fe rallongeant, fe courberoit en Hyperbole. Mais fi

les lignes de direction

Concourent en haut au point B,. là (comme en la figure fui

vante, ) la
corde fe

courbera en
Ellipfe, ou en cercle,

FeEe

bd D

B

ka.

LXXX. Démon.ration.

La raison en eft, que divifant en deux éga lement Fangle a BA par la ligne BF, & l'angle a BF par la ligne BE, & l'angle a B E par

la ligne Be, &c. & fup. polant que les portious des lignes e

c, Ec, ec,

Fb, &c. é

tant égale. ment pefanfont

ap.

A tes,

puyés fur un filet indivifible; it

eft manifef te que le

centre de gravité de toutes les lignes qui font entre a & A fe trouvera au milieu, fçavoir en la ligne Fb prolongée, s'il en eft besoin ; & le centre de celles qui font entre a & F fe trouvera auffi en la ligne de leur milieu, fçavoir en EC, &c. Ainfi tirant des tangentes para & par b, qui fe croifent en D, le point D fe devra trouver dans la ligne E C prolongée vers B; & de même tirant a tangente par C, qui coupe b D end, & a D en d, les points d & d fe devront trouver dans les lignes e c,& ec prolongées vers B. Or ceux qui ont la connoiffance des Sections Coniques, pourront ailément démontrer que ce font là des proprietez effentielles de ces fections, & que generalement

en toute fection Conique, (Parabole, Hyperbole, Ellipfe, ou Cercle) deux tangentes qaelconques (a D, b D) fe coupent en un poinc (D) enforte que tirant par ce point (D) une ligne vers le foyer oppofé B, on divife également par cette ligne (BD)l'angle ( a Bb) compris er tre les deux lignes de direction, qui paffent par les deux points. (a & b) d'où l'on a tiré les tangentes. Remarquez que dans la parabole le foyer oppofé étant infiniment éloigaé, (figure de la page 280.) c'eft-à-dire, les lignes de direction ne concourant nullement ? & étant paralleles; la ligne de direction qui paffera par le point (D) où les tangentes fe coupent, fera cenfée divifer l'angle en deux également, en ce qu'elle divifera également. tout l'elpace.

LXXXI. Les cordes tendues font en effet hyperboliques.

Ainfi nous devons dire que les cordes bien tendues, & qui par leur propre poids fe courbent un peu en fe rallongeant., font courbées veritablement en Hyperbole, & non pas en Parabole; puifque en effet les lignes de direction ne font pas paralleles, & qu'elles concourent toutes au centre de la terre..

LXXXII. Les furfaces étendues fo courbent auffi, & fe font convexes en bas.

On pourroit appliquer ceci aux furfaces, & il eft aifé de comprendre qu'une voile attachée A a iij