CHAPITRE IV.

DE LA

TRIGONOMETRIE RECTILIGNE.

SECTION I,

DES THEOREMES.

THEOREME I.

Si on prend l'un des dexx côtez d'un triangle rectiligne rectangle pour le finus total,l'autre côté deviendra la Tangente de fon angle oppofé, & l'hypotenuse la fecanté du mefme angle.

A

B

Je dis que fi du triangle rectiligne. rectangle ABCs on prend l'un des deux coftez, AB, AC, comme A B pour le Rayon, l'autre cofté AC deviendra la Tangente de fon angle oppofé B, & l'hypotenufe BC la fecante du même angle B. Car fi on décrit du point B par le point A, l'arc de cercle A D, on connoiftra aifément par la definition de la Tangente, que le coflé AC eft la Tangente de l'are A D, qui mefure l'angle B,, & que l'hypotenufe BC en eft la Secante. On connoiftra de la même façon que le cofté AB eft la Tangente de fon angle oppofé C, & l'hypotenufe B C la fecante, en prenant le cofté AC pour Rayon, c'eft à dire en décrivant du point C le mefme point A, un arc de cercle, &c.

par

COROLLA IRI.

Il fuit de cette Propofition que dans un triangle rectiligne rectangle, la raison d'un côté à l'autre côté eftégale à celle du

G

Rayon à la Tangente de l'angle oppofé à cet autre côté : & qué la raifon d'un côté à l'hypoteneufe eft égale à celle du Rayon la Secante de l'angle adjacent à ce costé.

si on prend l'hypotenuse d'un triangle rectiligne rectangle pour la Sinus Total, chacun des deux côtez deviendra le Sinus de for angle opposé.

Je dis que fi on prend l'hypote nufe BC du triangle rectiligne re ctangle ABC pour le Rayon, le cofté A B deviendra le finus de fon angle oppofé, C, & le cofté A Cle finus de fon angle oppofe B. Car i on décrit du point B par le point C, l'arc de cercle CD, qui rencon tre le cofté A B prolongé en D, & du point C par le point B l'arc BE,qui rencontre le cofté ACpto. longé en E, on connoîtra aïfément par la definition du finus, le cofté A B eft lefinus de l'arc BE, qui mefure l'Angle & que le cofté AC eft le finus de l'arc CD,qui mefure l'angle B

DA

E

que

COROLLAIRE.

Il fuit de cette Propofition, que puifque l'hypotenuse B Ceft prife pour le finus Total, elle eft le finus de fon angle oppofé A, qui eft droit, & qu'ainfi dans un triangle rectiligne rectangle, la raifon d'une des lignes au finus de fon code oppofé eft égale à celle de l'une des deux autres lignes au finus de fon cofté oppofé. Cela eft encore vray dans un triangle, qui n'eft pas rectan gle, comme vous allez voir.

THEOREM F III.

Dans tout triangle rectiligne l'un des côtez est au Sinus de fon an gle oppofé, comme l'un des deux autres côtez au finus de fon

angle oppofé.

A

IED

B

IEB

LG D

Je dis que dans le triangle rectiligne A B C, le cofté B C eft au finus de fon angle oppofé, A, comme le cofté AC au finus de fon angle oppofé B.

Pour la demonftration, tirez du troifiéme angle C fur fon cofté oppofé A B, la perpendiculaire CD. Décrivez de l'angle A, à telle ouverture qu'il vous plaira l'arc EF, & de l'angle B avec la même ouverture l'arc G H. Tirez des deux points F, H, fur le même cofté A B, les perpendiculaires FI,HL, qui feront les finus des arcs EF, GH, ou des angles A,B. Cela eftant je dis que le cofté BC eft au finus FI de fon angle oppofé A, comme lecofté A Cau finus HL de fon angle oppofe B, à l'égard du même Rayon A F, ou B H.

c'eft

Car il eft évident que les deux triangles rectangles A FI, ACD, font femblables, c'eft pourquoy par 4. 6. on aura certe analogie, AF, FI:: AC, CD. Il est évident auffi que les deux triangles rectangles BCD, BHL, font femblables, pourquoy on aura cette autre analogie, CD, HL: BC, E H, ou AF. Donc par égalité on aura celle-cy, BC, FI:: AC, HL. Ce qu'il faloit demontrer,

THEOREME IV

Dans tout triangle rectiligne Scalene, le plus grand côté est à la Jomme des deux autres côtez, comme leur difference à la differenee des fegmens du plus grand côté faits par la perpendiculaire,

Je dis que du triangle rectiligne ScaLene ABC, le plus grand cofté A Bet à la fomme des deur autres coftez AC, BC, comme leur Bdifference à la difference des fegmens AD, BD, faits parla perpendiculaire (D. Pour la demonftration, décrivez du point C par l'extremité A du plus petit cofté A C, une circonference de cercle, qui don nera B E pour la difference des fegmens AD, BD, & BG pour la difference des côtez AC, BC, & prolongez le côté B C jul qu'à la circonference du cercle en F, & la ligne B F fera la fom me des côtez AC, BC. Cela étant je dis que le plus grand côté A B eft à la fomme B F des autres coftez AC, BC, C leur difference BG à la difference BE des fegmens AD, BD,

comme

Car par 36.3. le rectangle FBG est égal au rectangle ABE: c'eft pourquoy par 14. 6. les quatre lignes AB, BF, BG, BE, font proportionelles, Ce qu'il faloit demontrer,

C OR O LLAIRE.

Il fuit de cette Ptopofition, que fi on connoift les trois coftez du triangle ABC, les deux fegmens AD, BD, feront connus, parce que leur difference BE eft connue, comme étant la qua triéme des quatre quantitez proportionelles AB, BF, BG, BE dont les trois premieres font connues.

Dans tout triangle rectiligne fcalene, la fomme de deux coftex eft à leur difference, comme la Tangente de la moitié de la fomme des deux angles oppofez à ces deux coftez à la Tangente de la moitié de leur difference.

deux angles.

ABC, A CB, oppofez à ces deux coftez A B, A C, à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles.

Pour la demonftration, decrivezde l'angle A à l'intervale du plus petit côté A B, une circonference de cercle, qui coupant leplus grand cofté AC en E & en F, donnera C F pour la fomme des coftez A B, AC, & CE pour leur difference. Joignez les droites BE BF, & par le point C tirez à la ligne BE la parallele C G, qui rencontre icyla ligne B F au point

G.

Cette preparation étant faite, on void par 32. 1. que l'angle externe FAB eft la fomme des angles A B C, ACB, & par 20. 3. on connoift que l'angle F E B eft la moitié de cette fomme: & parce que cet angle FEB eft égal à l'angle FCG, par 29.1. & auffi à l'angle A BE, par s. 1. il fuit que les angles ABE, FCG, font chacun la moitié de la fomme des angles A BC, ACB. De plus les angles alternes EBC, BCG, font égaux entre eux par 29, 1. & tels que le premier E B C étant ajouté à la moitié de la fomme ABE, donne le plusgrand angle ABC