Comme la fomme des coftez connus AB, AC.

408
104

142814

36403

leur difference

à laquelle il répond dans les Tables environ 20 degrez pour la moitié de cette difference, laquelle eftant ajoûtée à la moitié de la fomme des angles B, C, qui eft dess degrez, on aura le plus grand angle C de 75 degrez, & eftant ôtée on aura le plus petit angle B de 35 degrez.

Ces deux mêmes angles B, C, fe peuvent trouver autrement, comme vous allez voir dans le

PROBLEME

IV..

Etant connus deux coftez AB, AC, l'angle compris A, trouver le troifiefme cofte BC.

On trouvera premierement les autres sangles B,C, par le Probleme precedent, &en fuire le cofté BC, par Probl. 2.

Ou bien tirez de l'un des deux angles inconnus B, C, comme de C,fur fon cofté oppofé A-B la perpendiculaire CD, & dans Mesme le triangle rectangle A D C connoiffant les angles & hypote. Fig. nule AC, on pourra connoiftre la perpendiculaire C D, & le fegment AD, & par confequent l'autre fegment DB. Ainfi dans le triangle rectangle CDB, connoiffant les cofte DC, DB, on pourra connoiftre & les angles & le cofté B C qu'on cherche.

PROBLEME V.

Etant connus les trois coftez AB, AC, BC, trouver les angles
A, B,C.

Si le triangle A B C eft Scalene, abaiffez du plus grand angle C, furfon cofté oppofe AB, la perpendiculaire CD,qui divife la bafe AB en deux fegmens-A D, BD, dont la difference fe pourra premierement connoiftre en faisant par Thtor, cette analogie;

côte AC, BC.

4.

256

401

97

152

Ainfi la difference des mefmes coftez A la difference des fegmens AD, B D laquelle eftant ajoûtée à la bale A B,la moitié de la fommedonnera 204 pour le plus grand fegment BD, & eftant oftet; la moitié du refte donnera 52 pour le plus petit fegment AD,

Ainfi dans chacun des deux triangles rectangles ADC, BDC, on connoistra l'hypotenuse & un cofté, ce qui fuffit pour pou voir connoiftre les angles A, B, dont les complemens ellane ajoûtez ensemble donneront le troifiéme angle C.

On tire de cette regle cette methode generale pour trouvere quel on voudra des trois angles A,B,C, fans qu'il foit befoin de tirer aucune perpendiculaire, Comme fi on veut trouver l'angle A, qui eft compris par les deux coftez AB, AC, on fera cette analogie;

Comme l'un des coftez AC des deux AB AC,
qui comprennent l'angle A qu'on cherche

Au Sinus Total

Ainfi l'excez de la fomme des quarrez

des deux mefmes coftez AB, AC, fur le
quarré du troifiefme cofté B C

A un quatriefme nombre

152

10000

26639

17525658

lequel eftant divifé par le double 512 de l'autre cofté AB des deut mefmes coftez AB, AC, donnera 34229 pour le finus de com plement de l'angle A, qui fe trouvera d'environ 70 degre

Si le triangle ABG eft ifofcele, en forte que par exemple les deux coftez AC,BC, foient égaux, il ne fera pas befoin d'un long calcul pour trouver les fegmens AD, BD, parce que chacun fera dans ce cas égal à la moitié de la base A B.

Que file triangle ABC eft équilateral, les trois angles A,B,C, feront égaux, & par confequent connus, parce que chacun (e.

ra de 60 degrez.

N

CHAPITRE V.

De la Trigonometrie Spherique.

fe

Ous fuppoferons icy que le Lecteur entende non feule ment les Elemens d'Euclide, mais encore les Elemens de Theodofe; & comme ceux d'Euclide font plus communs, nous citerons seulement les Propofitions de Theodose.

SAD Si de la pointe d'un angle Spherique, comme d'un Pole, on décrit fi à l'intervalle de 90 degrez un grand cercle, l'arc de ce grand cercle pl terminé par les deux lignes, fera la mesure de cet angle.,

A

que

Soit l'angle Spherique BAC, dont les lignes AB, AC, foient des arcs de deux grands cercles de la Sphere, dont le centre commun foit D, & la fection commune foit la droite A D C. Je dis fi du fommet A', comme Pole, on décrit à l'intervalle de 90 degrez l'arc de grand cercle BE, en forte que AB, A E foient des quarts de cercle, cet arc B E terminé par les deux lignes AB,AC, de l'angle Spherique B AC, eft la mesure da mefme D angle.

E

Car fi on tire les droites D B, DE, on connoiftra aifément que le Rayon DB eft dans le plan du cercle ABC, & le Rayon DE dans le plan du cercle AEC, & que chacun eft perpendiculaire à lacommune Section AC, à caufe des quarts de cercle AB,AE,qui mefurent les angles ADB, ADE. D'où il fuit que l'angle B D E, ou l'arc BE eft i'inclination des deux plans ABC, AEC, & par confequent la mesure de l'angle BAC. Ce qu'il faloit demontrer,

SCOLI E.

Comme les grands cercles ABC, AEC, fe coupent aux deux poins diametralement oppofez A,C,les arcs ABC, AEC, fe ront des demicercles, par 11. 1. & comme les arcs AB, AE, font des quarts de cercle, les deux C B,C E, feront auffi des quarts de cercle, & le point C, auffi bien que le point A, fera le pole de l'arc BE, lequel par confequent mefure l'angle BCE, aufli bien que l'angle BAE, qui en eft éloigné d'un demicercle. Ainfi vous voyez que deux angles Spheriques éloignez entre

que

eux d'un demicercle font égaux; Vous voyez auffi chacun des coftez d un triangle Spherique, comme A B du triangle Spherique ABE, eft moindre qu'un demicercle, puifque ABC ft un demicercle.

THEOREME II.

Les trois angles d'un triangle Spherique font ensemble plus grands que deux droits.

A

D

B

Pour demontrer que les trois an gles A, B, C, du triangle Spherique ABC, font ensemble plus grands que deux droits, prolongez deur cotez comme AB, AC, jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent en D, & tirez le diametre AD, & les trois cordes AB, AC, BC. Tirez du point È pris à difcretion fur la corde AB, all diametre AD la perpendiculaire EF. qui fera dans le plan du demicercle AD, 28 par le point F au même diametre SAD la perpendiculaire F G, qui fera dans le plan du demicercle ADC, & l'angle EFG fera l'inclination des deux plans ABD, ACD, & confequemment égal à l'angle Spherique B AC. › Cette preparation eftant faite, on connoift que dans le triagle rectiligne rectangle AFG, la ligne A G eft plus grande que la ligne AF, & que pareillement dans le triangle rectiligne rectangle, AFF, la ligne A E eft auffi plus grande que la ligne A F, aprés quoy il eft aifé de voir que l'angle EFG, où l'angle Spherique A, eft plus grand que le rectiligne GAE. C'est de la mefme maniere qu'on demontrera que l'angle Spherique B eft plus grand que le rectiligne A B C, & l'angle fpherique C plus grand que le rectiligne ACB. D'où il fuit que les trois an gles fpheriques A, B, C, font enfemble plus grands que les trois trois angles du triangle rectiligne ABC, ou que deux droits, Ce qu'il faloit demontrer,

COROLLAIR E.

Il fuit de cette Propofition, que dans tout triangle fpherique,

l'angle

11.1

AB

l'angle externe, comme CBD, eft moindre que la fomme des deux internes oppofez A, C. Car puifque les trois A, B, C, font plus grands que deux droits, ils font plus grands que les deux ABC, CBD, qui valent deux droits, parce qu'ils font mesurez par un demi-cercle. C'eft pourquoy fi on ôte de chaqué cofté l'angle commun ABC il reftera les deux angles internes, A, C, plus grands que l'externe oppofe CBD.

THEOREM E III.

Si deux coftez d'un triangle spherique font égaux à deux coftez d'un autre triangle spherique, chacun au fien, & que les deux angles compris par les deux coftez égaux dans chaque triangle foient égaux, ces deux triangles feront égaux.

Suppofons que des deux triangles

fpheriques A B C, DEF, le cofté AB foit égal au cofté DE,' le cofté AC au cofté DF,

&

pris D. Cela

eftant je dis

que les deux triangles ABC, DEF, font égaux en tout fens, c'eft à dire que l'angle B eft égal à l'angle E, l'angle C à l'angle F, & le troifiéme costé BC au troisième costé EF.

&

Car fi on pofe par penfée le triangle DEF fur le triangle ABC, en forte que le cofté DE convienne avec le cofté AB, ce qui eft poffible, parceque ces deux coftez font fuppofez égaux, alors l'autre cofté DF tombera fur le cofté AC, l'extremité F fur l'extremité C, à caufe de l'égalité des deux angles A,D, & des deux coftez AC, DF. Ceft pourquoy le troifiéme cofté E F tombera fur le troifiéme colte BC, ne pouvant tomber fur BGC, autrement BC, & BGC seroient des demi-cercles, ce qui ne peut pas eftre, parce que de tout triangle fpherique chacun des coftez eft moindre qu'un demi-cercle, comme nous avous remarqué au Theor. 1. D'où il fuit que les triangles ABC, DEF, conviennent entierement,

I