font pas plus longs que ceux du P. C. & cependant on y trouvera au moins la moitié plus de chofes que dans les fiens.

Pour la mesure des angles, par exemple, on fe contente ici de faire voir que l'angle à la circonference est mefuré par la moitié de l'arc fur lequel il appuye. Pas un mot de l'angle dont le fommet eft dans le cercle ou hors du cercle, pas un mot de celui que la Tangente fait avec une corde. Cette propofition fondamentale est sans doute un detail qui n'est pas digne de l'Auteur.

Des Lemmes il pafle aux Theorêmes, & en y parlant des figures femblables, c'est quelque chofe de fingulier comme il fe jouë fur un mot.

Les Géometres, dit-il, qui ont toujours vifé à la perfection rigide des chofes, n'ont point connu d'autre analogie que la parfaite. Tout ce qui n'a point été parfaitement reßemblant ne l'a point du tout été pour eux.

Cependant comme pour être Géometre je ne confeillerois à perfonne de ceffer d'être homme, & que la nature fe plait à di. verfifier toutes chofes fans ceffer de les modeler fur une même idée de rectitude, il n'eft pas mal de reconnoître avec tous les gens de bon fens qui jugent bien, qu'il y a du plus ou du moins à tout cela, & que les chofes peuvent se ressembler plus ou moins par divers endroits.

En verité, Mr. ce font d'étranges gens que ces Géometres. Sans les Perfonnes de bon fens qui jugent bien, où en ferions-nous? Tout feroit gâte. Parlons férieufement. Les choses se reffemblent plus ou moins par divers endroits ; Qui en doute? Mais, Que cela fait-il aux Géometres? Ils ont appellé figures femblables celles dont les cô. tés font proportionnels. Veulent-ils dire par là que les autres ne fe reflemblent point du tout ? Nullement. Ils veulent dire fimplement que leurs côtés ne font pas proportionnels. Mais, Mr. ce qu'avance le P. C. eft même faux dans le fait; car les Géometres comparent ensemble

C

Fig. 1.

les figures diffemblables, & voyent en quoi elles fe rapportent & en quoi elles different.

Après cela le P. C. dit quelque chofe des folides; une des propofitions fondamentales, c'eft que toute Pyramide eft le tiers d'un Prisme de même base & de même hauteur. On avance bien cette verité, mais fans en donner la démonstration, parce qu'on a prévú ( dit-on ) que le Lecteur ne l'entendroit pas..

Un auffi habile homme que le P. C. à qui tout eft facile, auroit bien dû trouver une maniere de la faire entendre.

Nous voci aux Corollaires. Il n'y a rien de l'Auteur que la reflexion fuivante.

que

Je ne change rien ( c'est lui qui parle) au langage des Géometres, mais je l'explique. Ils difent que l'angle e qui est plus aigu, eft plus petit que l'angle d, qui eft plus ouvert, & Langle deft plus petit que l'angle c, lequel eft infiniment obtus. On eft fi accoutumé à ce langage, qu'on ne doute pas qu'il ne foit naturel; mais ne feroit-il pas plus naturel de dire que l'angle eft d'autant plus grand qu'il eft plus angle, plus aigu moins émouffé, & que la ligne e eft plus anguleufe que d, &• d plus que c, qui ne l'eft point du tout.

Le langage des Géometres, Mr. eft clair, naturel, & n'a d'obscurité que celle que le P. C. y met. Ils definiffent l'angle, l'ouverture de deux lignes, & dès-lors la grandeur où la petitefle d'un angle dépend de la grande ou petite ouverture des lignes qui le comprennent. Cela n'a befoin d'aucune explication.

GEOMETRIE-PRATIQUE.

L'Auteur y traite les Logarithmes en deux mots. Je defie bien les commençans avec toute l'attention du monde de se mettre au fait de la matiere fur ce qu'il en dit, auffi-bien que de ce qui regarde les Tables des Sinus dont il donne l'art à peu-près. Tel eft à peu-près ( dit-il ) l'art des Tables des Sinus. Cet à peu-près est tout-à-fait plaisant en Géometrie.

On trouve enfuite la Trigonometrie, Planimetrie Curvimetrie, &c. c'est-à-dire, une très-petite partie de ce qui en eft dans cent Traités differens.

Voici néanmoins quelque chofe de particulier au P. C. Une découverte confidérable qui fait connoître en même-temps, & fon profond favoir en Géometrie, & le caractere de fon efprit. C'est la quadrature indefinie de la Lunule d'Hippocrate de Chio.

Soit un cercle e b da. Si du point a & du rayon a c on décrit un arc de cercle egd, l'efpace cb de compris entre la demie - circonference de l'un & le quart de l'autre, est ce qu'on appelle la Lunule d'Hippocrate de Chio. Ce Géometre a trouvé qu'elle étoit égale au triangle e da.

Je n'ai garde de méprifer Hippocrate de Chio ni fa découverte mais je me garderois bien de me rendre méprifable moi-même jufqu'au point de la choifir pour l'oppofer à toutes celles des modernes comme une découverte fublime qui décide hautement de la fuperiorité en faveur des Anciens. Elle a le merite de la fimplicité, mais elle n'a gueres celui de la difficulté & de l'importance. Elle ne demande ni fagacité, ni recherche, & ne démontre point la quadrature abfolue du cercle, & moins encore fa quadrature indefinie dont l'impoffibilité eft demontrée. C'est cependant, Mr. ce que prétend le P. C. Sur quel fondement? Je n'en fais rien.

Hippocrate de Chio ( dit-il ) qui n'étoit pas moins profond Géometre que celui de Cos, étoit habile Medecin, eft le premier qui ait quarré & exactement mefuré un espace circulaire, &qui ait, par conféquent, démontré la possibilité de la quadrature du cercle entier.

Ce par conféquent là, Mr. n'eft point du tout confé

quent.

Notre Auteur releve auffi le merite de cette découverte avec la même exageration que fi elle étoit de lui, & ne craint pas de la mettre en parallele avec les plus belles des modernes,

Cij

Fig. 2

Je doute, dit ce Juge éclairé, que les modernes ayent jamais fait de plus belle découverte & à la place d'Hippocrate, tel qui s'en fait accroire & qui meprise les anciens fans aucun droit perfonnel, auroit bien pû manquer une verité fi fublime.

Ce ne feroit pas, au moins, le P. C. qui l'auroit manqué, la découverte qu'il a faite lui-même, & que vous allés apprendre,en est un für garant.Découverte extremement fuperieure à celle d'Hippocrate de Chio, & preuve par consequent du defintereffement & de la modeftie du jugement que ce P. en porte.

Mr. le Marquis de l'Hospital dans les Memoires de l'A. cadémie de 1701, a donné un morceau dans lequel il determine par de certaines conditions une infinité de por. tions moyennes de la Lunule, quarrables. Avant lui Mr. Tchirnaus avoit donné la quadrature d'une infinité d'au tres portions que celles du Marquis de l'Hospital; mais l'un & l'autre avoit remarqué qu'elles n'étoient quarrables qu'avec les conditions aufquelles ces Géometres les affujettifoient, & qu'il étoit impoffible de quarrer indefiniment les parties de la Lunule.

Le P. C. qui a beaucoup plus de lumieres que ces favans Géometres, a trouvé ce qu'ils avoient crû impoffible.

Non feulement (dit-il) on quarre la Lunule entiere, mais je fuis bien aife de remarquer ici en paffant qu'on peut quarrer toutes fes diverfes portions dhi & la divifer en raifon donnés quelconque, & cela en divifant de dans cette raifon donnée au point k, & tirant k h parallele à ab.

qua

Je fuis perfuadé, Mr. que le P. C. ne connoît pas bien toute la grandeur & l'importance de fa découverte, & qu'il ne fe doute pas le moins du monde d'avoir la drature du cercle. Sa remarque, cependant, fi elle est vraye, enporte neceflairement cette quadrature. Il étoit bien jufte qu'un fi habile homme trouvât à fon tour ce que des ignorans ont trouvé tant de fois. Oüi, Mr. le P. C.a Ia quadrature du cercle,ou il n'a rien. En voici la démonf

tration.

Soit CHD une partie quelconque de la Lunule ABDS qu'on veut quarrer, il faut prendre la differentielle de l'efpace & l'integrer fi on peut.

Nommant AD (a) T D (x) on aura CT

Vax-xx.

en appellant M R, C, V R fera a + 2 c &

on aura H P = Vax+ac+cc—x x

HT=Vax + ac + c c - X X — a, & enfin CH=

Vax-xx+a—Vax + ac + cc —xx.

La differentielle de l'espace C D H fera donc

Or

dxx Vax-xx+1a-Vax + ac+cc➡xx. cette differentielle ne fe peut integrer qu'en integrant celle du cercle qu'elle renferme, savoir,

dxx Vax-xx & dxx Vax + acccxx.

On ne peut donc avoir la quadrature indefinie de la Lunule qu'en ayant celle du cercle, & par conféquent, Mr. le P. C. a cette derniere,ou il n'a rien.

Cette alternative m'a d'abord embarraffé. D'un côté l'impoffibilité de la quadrature indefinie du cercle est demontrée, de l'autre le P. C. aflure pofitivement qu'on peut quarrer toutes les diverfes portions de la Lunule, & la diviser en raison donnée quelconque. Il trouve même la chofe fi facile qu'il ajoute, je n'en mets pas la demonstration, mais la figure l'indique, & je fai par experience que des commençans peuvent la trouver facilement. Comment concilier deux chofes fi oppofées, il n'y a pas d'apparence que le P.C. donne avec le plus grand air de confiance, hardiment & d'un ton de maître une remarque faufle. Ce P. a auffi trop de bonne foy pour avancer qu'il a l'experience que des commençans en peuvent facilement trouver la demonf tration, fi cela n'est pas vrai. Ces confiderations, Mr. au roient suspendu mon jugement, s'il m'avoit été poffible de me refufer un moment à la force d'une verité évidente. Mais il a fallu s'y rendre. Le P. C. fe trompe. Il s'imagine

Fig.