Coniques favent que la proprieté de l'hiperbole entre fes afymptotes, c'eft que tous les rectangles AIXIG, A M x MH font égaux. D'où il fuit que toutes les ordonnées Fig. s. IG, MH que l'on prend paralleles à l'afymptote A D décroiffent dans la même raifon que les abfcifles AI, AM croiffent. A cette proprieté fi connuë le P. C. en substituë une fauffe. Savoir que tous les rectangles AI XIE, A L XL H font égaux. La faute qu'il fait, c'est de prendre perpendiculaires à l'axe, fes ordonnées qui devoient être prifes paralleles à l'afymptote, & de fuppofer que dans le cas qu'il propofe, elles décroiffent dans la même raifon que les abfciffes croiffent. Voici fes paroles.

*

Soit une hyperbole ou un quartier d'hyperbole dans fon * P. 445. triangle afymptotique avec plufieurs paralleles BI, CK, DL, &c.comme le triangle va toujours en s'ouvrant & s'élargißant de plus en plus à mesure que fes côtés A B, A I, deviennent plus longs, les paralleles vont aussi croißant à proportion qu'elles répondent à des points I, K, L, plus éloignés du point angulaire A, auquel elles font face. En effet, tous les triangles AIB, A KC, A L D étant femblables à caufe de ces paralleles, les ordonnées B I, CK, DL font femblables &proportionnelles aux abfciffes A 1, AK, A L.Tout cela, Mr. eft vrai jufqu'ici.

Mais (pourfuit l'Auteur) confiderant la circonference hyperbolique comme se réünissant dans quelque point fort éloigné avec fes deux afymptotes AD, AL, & comme formant avec elles une espece de triangle mixte dont elle eft la bafe; alors les ordonnées I E, KG, LH terminées d'un côté à l'afymptote, & de l'autre à la circonference hyperbolique, doivent par une espece de contre-imitation du triangle, non pas croitre à mesure que les abfciffes croiffent, mais à contre-fens décroitre dans la même proportion renverfée ou reciproque. En forte que fi A Left double de AI, LH foit fous double de E I;& que l'ordonnée quelconque foit toujours fous multiple dans le même ordre que l'abfciffe eft mul

tiple. Si l'abfciffe eft 2, l'ordonnée eft Si Pabfciffe eft 6,l'or donnée eft Si, &c.

Suivant cela les rectangles des abfciffes & des ordonnées correfpondantes font toujours égaux;car 2 8 ¦ = 3 × }= 6 x 1/ =Ï,&c. c'est-à-dire, deux moitiés, trois tiers, fix fixièmes, cent centièmes, &c. font toujours un ; telle est la proprieté fpc. cifique de l'hyperbole.

de

Le P. C. fuppofe donc, Mr. que les droites I E, KG, LH, &c. décroiffent dans la même raison que les abfciffes AI, AK, A L croiffent. Rien n'eft plus aifé que démontrer la fauffeté de cette fuppofition. Car par la propofition elementaire & fondamentale de l'hyperbole entre fes afymptotes on a le rectangle AT&T Eégal au rectan. gle AIXIG; mais A 1 étant double de AT, TE sera double de IG; donc aussi (à cause des triangles femblables TIE, IKG) I Esera double de K G; au lieu que fuivant la nouvelle Géometrie A L étant double de AI, c'eft LH qui doit être la moitié de I E, quoiqu'elle n'en foit qu'un peu plus du quart. Car AM n'étant qu'un peu moins que 4 fois AT, & par conféquent T E qu'un peu moins que 4 fois M H;I È n'eft auffi qu'un peu moins que 4 fois LH.

Si au lieu des rectangles inégaux IE & AI,KG & AK, LH & AL, le P. C. avoit pris les rectangles IE & EB, KG & GC, LH x HD, il auroit eu des rectangles veritablement égaux entr'eux, & dont l'égalité eft une autre proprieté de l'hyperbole rapportée à fes afymptotes, proprieté non moins familiere que la précedente à ceux qui favent les premiers Elemens des Sections Coniques: mais les côtés E B, GC, HD de ces rectangles ne fuivant pas la même raifon que les côtés AI, AK, AL des rectangles qu'il a pris, démontrent encore évidemment l'inégalité de ces rectangles, & tout le mecompte de l'Auteur.

Vous voyés, Mr. qu'avec ce peu que le P. C. nous ap

prend ici de l'hyperbole, il auroit pû dire encore comme ailleurs, fans fe vanter beaucoup; En voilà plus que les Géometres n'en apprennent aux commençans.

Au refte, & dans le cône & hors du cône, on ne dit prefque rien des Sections Coniques, & l'excellent Traité qu'a fait fur cette matiere le Marquis de l'Hospital, sera tout nouveau pour un Lecteur qui n'aura lû que le P. C.

Mais, Mr. je vais trop vîte. La reflexion fuivante m'apprend que je pourrois bien me tromper.

Au refte, que les Géometres ne difent pas que j'effleure ici la fcience des Sections Coniques, tandis que je me flatte au contraire d'en donner des Traités aẞés profonds; fi c'est le detail qu'ils cherchent, ils verront bientôt que je viens de leur en donner la clé, mais chaque chofe a fa place, & s'ils ne faififfent pas encore, l'efprit de l'ordre que je fuis dans tout cet ouvrage, ce n'eft pas ma faute, puifque j'ai donné mon plan fort à dé couvert dans les fept premiers Developpemens, & qu'ils devroient déja voir à quoi fe rapporte chaque partie du detail qui roule dans leur memoire. Et deux pages plus bas.

Ceux qui pourroient me blâmer d'avoir donné deux ou trois Traités fur les Sections Coniques, fans aucun detail de leurs proprietés particulieres, & qui m'accuferoient là-deffus de donner une theorie moins étendue que celle des autres Géometres vont voir que pour ce qui eft de l'étendue, j'en donne aux chofes un peu plus qu'on n'en donne communément, que les Traités precedens font prefque tous de furerogation, mais que je ne con fonds point la theorie avec la pratique, ni les principes avec les ・confequences, que pour ce qui eft du detail il ne regarde gueres que la pratique, & que c'est ici le lieu de ce qu'ils ont cherché inutilement dans les Traités précedens.

Je vous ai bien dit, Mr. que j'allois trop vite. Exami. nons pourtant. Le P. C. eft fufpect, & cen'eft pas autrement fa coutume de tenir ce qu'il promet. Voyons. Ah! je n'en doute plus. Il veut encore ici en impofer aux ignorans. Je trouve bien les Equations des Sections Coniques, leurs

allures, comme il les appelle, & des Titres qui annoncent les lieux Géometriques & leurs constructions, mais je ne trouve rien là-deffus de clair ni de developpé. Ce qu'en dit l'Auteur eft fi court & fi confus que les commençans auront befoin de toute leur attention pour n'y rien en. tendre.

Ceux qui voudront ( c'est lui qui parle) voir tout cela en detail font à même, il me fuffit d'en donner la clé & de le faire mème toucher du doigt. Tout cela n'a d'embarralfant que le detail même & la complexion des termes. En general tout detail embaraffe ceux qui n'ont point d'exercice & d'ufage, il leur fait perdre de vue le principe qui est pourtant l'essentiel.

Quoiqu'en dife le P. C. il n'eft nullement vrai, Mr. que le détail faffe perdre de vûë le principe. C'est tout le contraire. Ce n'eft qu'en appliquant le principe, & en le faifant appliquer aux commençans qu'on les en rend maîtres. Ce n'eft que l'ufage qu'ils en font qui le leur developpe. Et puis en vain leur donne-t'on le principe fi on ne leur donne auffi la maniere de s'en fervir.

Ajoutés à cela, Mr. que ce que le P. C. appelle detail, fait fouvent partie du principe,ou fert à l'éclaircir; mais il a fes raifons pour le négliger. On méprise volontiers ce qu'on ignore. Après cela fied-t'il bien à l'Auteur de dire dans la récapitulation de la Géometrie compofée.

Que fait-on fi la Géometrie portée peut-être dans cet Ouvrage à un certain point de facilité, ne repandra pas dans le monde un certain jour, un certain goût de jufteße & de proportion, &c. Et plus bas. Que fera - ce donc fi à l'aide de cet Ouvrage, ou de tout autre qui en executera mieux le plan, la Geometrie la plus haute devient une science de commerce & d'ufage.

Je vous laiffe à juger, Mr. fi l'efperance du P. C. est bien fondée, & je paffe à la Géometrie transcendante.

Notre Auteur diftingue l'infini en philofophique, & géometrique, & le philofophique en Phifique & Metaphifique. La phifique de l'infini contient les divifions & les fub. divifions actuellement faites dont l'Univers eft plein; elle contient auffi ce que le P. C. appelle la Géometrie naturelle de l'infini qui commence par ces mots.

C'eftici, je penfe, le vrai nœud de la Géometrie & de la Metaphifique de l'infini ; c'est au moins l'unique voye que j'aye pù trouver pour reconcilier fes adverfaires avec fes partifans, &pour mettre cette haute & tranfcendante Géometrie à la por

tée de tout le monde.

Vous allés juger, Mr. de cette voye admirable.

F'ai oui - dire plus d'une fois en propres termes ( c'est l'Auteur qui parle) qu'un*** n'est rien, que deux font quelque chofe, que trois font beaucoup & quatre font trop.

Un peu n'eft rien, mais deux peu font beaucoup.

L'eau qui tombe goutte à goutte, comme dit la chanfon, perce le plus dur rocher.

Plufieurs coups redoublés font entrer le cloud dans le marbre. Ce font-là les principes de la Géometrie naturelle de l'infini, en voici la pratique.

Un Artifan pour faire un talon fait d'abord un quarré, il en coupe les angles, & d'angle en angle, il les fait difparoitre, & arrondit fon talon.

Chés le fimple peuple, & chés tous ceux qui ne font pas de grands calculs, fur une fomme un peu grande on neglige une obole, un denier même un liard felon la grandeur du compte ou la richeffe du calculateur.

La Mouche qui chés Efope étoit bien fiere de fe voir trainer en caroffe, eut été bien fotte, fi elle eut fù que les chevaux ne fe mettoient pas en de plus grands frais pour elle.

Chés les Marchands, &c.

Hé bien, Mr. qu'en pensez-vous? Voilà fans doute les