le même effet qu'un poids qui feroit exprimé par HM, & qui tireroit felon la direction HM, joint à un autre poids exprimé par HN, & qui tireroit felon la direction HN. Or les diagonales Fp, Hq, étant égales, puifqu'elles expriment des poids égaux, & l'angle pFV égal à l'angle qHN; les triangles rectangles FVP, HNq, font égaux: donc Vp ou FT-Nq ou HM. Ainsi, à cause de l'égalité des bras FC, CH, les poids égaux FT, HM, font en équilibre : & les poids ou forces FV, HN, étant retenus par la résistance du point fixe, font auffi en équilibre avec cette résistance; & par conféquent le levier doit refter en repos. PROPOSITION LXII. 368, Mais fi le centre de mouvement C eft au-dessus du milieu H du levier AC, & qu'après avoir attaché aux deux extrémités A, B, deux poids égaux P, Q, on mette le levier dans une fituation oblique EF; je dis que ce levier fe mouvra jufqu'à ce qu'il fe foit remis dans la pofition horizontale AB où les deux corps fe trouveront en équilibre (Fig. 176). DEMONSTRATION. Afin que le levier puiffe être mis dans la pofifition oblique EF, il faut néceffairement que fon centre de gravité monte en décrivant l'arc HR or ce centre étant en R, n'est plus foutenu felon fa direction verticale: ainfi il doit defcendre jufqu'à ce qu'il fe retrouve directement fous le point fixe C, qui l'empêchera de defcendre plus bas ; & alors l'égalité des poids & des deux bras établit l'équilibre. PROPOSITION. LXII I. 369. Enfin fi le centre C du mouvement eft en deffous du milieu M du levier AC, & qu'après avoir mis deux poids égaux aux extrémités A, B, du levier, on le mette dans une pofition oblique EF; je dis que le levier ne ceffera de defcendre jufqu'à ce qu'il foit parvenu à la pofition horizontale HS parallele à la pofition AB (Fig. 177). " DEMONSTRATION. Le levier ne peut être mis dans la pofition EF, à moins que fon centre de gravité M ne décrive l'arc MR: or ce centre étant en R, ne trouve rien qui le foutienne felon fa direction verticale. Donc il doit defcendre jufqu'à ce qu'il fe trouve directement fous le point d'appui C qui l'empêchera de defcendre plus bas; & alors il y aura équilibre entre les deux poids. La La Balance ordinaire. 370. La balance ordinaire (Fig. 178) n'eft autre chofe qu'un levier A, B, dont le centre de mouvement est un peu au-dessus du point M du milieu. On y attache aux deux extrémités deux baffins égaux C, E, qui foient en équilibre: après quoi, quand on veut pefer quelque marchandise, on la met dans l'un des baffins C, & l'on met dans l'autre des poids connus, tels qu'ils foient en équilibre avec la marchandise; ainfi, fi le poids qui fait équilibre est de deux livres, la marchandise pese deux livres, &c. 371. La balance ordinaire est trompeuse, quand l'un des bras eft plus long que l'autre : & alors le baffin qui eft à l'extrémité de ce long bras, ne pese pas autant que l'autre; car autrement ces deux baffins ne feroient pas en équilibre, & l'on pourroit par ce moyen connoître aisément la fripponnerie. Ceux qui fe fervent de ces fortes de balances, mettent toujours la marchandise qu'ils vendent du côté du plus long bras, afin qu'elle faffe équilibre avec un poids plus grand qu'elle: & au contraire, s'ils achetent, ils mettent la marchandise du côté du moindre bras, afin qu'elle fasse équilibre avec un poids moindre; & par cette rufe ils vous trompent toujours, foit qu'ils vendent, ou qu'ils achetent de vous. 372. Pour n'être pas la dupe de ces fortes de gens, il faut après avoir mis la marchandise dans l'un des baffins, & trouvé le poids qui lui fait équilibre dans l'autre, tranfporter la marchandise dans le baffin du poids, & le poids dans celui de la marchandise; & fi la balance eft fauffe, l'équilibre ne fubfiftera plus. 373. Pour connoître le véritable poids d'une marchandise qui a été pesée dans une balance trompeuse, je mets dans le baffin C (Fig. 179) la marchandise que je nomme m, & dans le bassin E un poids p qui faffe équilibre avec la marchandise; je transporte dans le baffin E la marchandise, & je mets dans le baffin C un autre poids q qui foit en équilibre avec elle; je multiplie le poids P par le poids q, & tirant la racine quarrée du produit pq, cette racine eft le véritable poids de la marchandise. Car quand cette marchandise est en C, nous avons BM. AM :: m. p; & quand elle eft en E, nous avons BM. AM :: q. m : donc q. m :: m. p ; & pq =mm, &m=√ qp. I 2 100 = ୨ Soit p=9, q10: donc qp=90, & V qp√ 90=948 ainfi la marchandise étant mise en C, pefe 9, au lieu de 9 livres; & par conféquent celui qui a acheté cette marchandise, a gagné d'une livre fur fon achat, fuppofé qu'il ait mis la marchan TOME II. V v dife dans le baffin C. Mais s'il avoit voulu vous tromper en vous vendant la même marchandise, il l'auroit mise dans le baffin E, & alors elle auroit fait équilibre avec q= 10; & par conféquent il auroit gagné fur le poids d'une livre; puifque la marchandise n'auroit pefé réellement que 9, au lieu de io. 12 12 259 12 q: De là il est aifé de connoître le rapport des deux bras AM, MB; car puifque la marchandise 9 étant en C, fe trouve en équilibre avec p9, nous avons MB. AM :: 9 + 3. 9. 12 DE LA ROUE DANS SON AISSIEU. 374. La roue dans fon aiffieu est une roue dont les rayons font attachés fixement à un cylindre nommé aiffieu ou treuil aux deux extrémités duquel font deux pieces de fer qui s'enchâssent dans deux pivots ou foutiens fur lefquels le cylindre & la roue tournent ensemble: la Figure 180 repréfente cette machine. Le poids R qu'on veut enlever eft attaché au treuil avec une corde, & la puiffance P eft attachée à la circonférence de la roue. PROPOSITION LXIV. 375. Si une puiffance A, qui tire avec une direction AH tangente à la roue, tient en équilibre un poids P; la puiffance eft au au poids, comme le rayon CE de l'aissieu est au rayon AC de la roue (Fig. 181). ĎÉMONSTRATION. Si le rayon AC de la roue auquel la puiffance A eft perpendiculaire, eft en ligne droite avec le rayon CE du treuil, auquel la direction du poids eft perpendiculaire; on peut confidérer la droite AE comme un levier dont le centre du mouvement est le point C: ainfi dans le cas de l'équilibre entre la puiffance & le poids, nous avons A. P :: CE. AC. Si la puissance tire avec une direction BX, perpendiculaire au rayon BC qui n'est pas en ligne droite avec le rayon CE, auquel le poids eft perpendiculaire, nous regarderons les droites BC, CE, comme les bras d'un levier recourbé, auquel la puiffance & le poids font perpendiculaires; & par conféquent nous aurons encore A. P: CE. BC. 376. Si la puiffance ne tire pas avec une direction tangente à la roue, il eft aifé d'appliquer à cette machiue ce que nous avons dit des leviers auxquels la puiffance eft oblique. 377. Lorfqu'on veut élever des poids extrêmement grands par le moyen de cette machine, il faudroit augmenter prodigieufe ment le rayon de la roue ; ce qui deviendroit trop incommode: c'est pourquoi on fe fert alors des roues dentées, dont nous allons parler. DES ROUES DENTÉES. 378. Les roues dentées ne different de la roue dans fon aiffieu, qu'en ce que leurs circonférences & celles de leurs aiffieux ont des dents. On en met ordinairement plufieurs, comme on voit ici (Fig. 182). La premiere, qui eft celle à laquelle la puiffance s'attache, n'a point de dents à fa circonférence, & fon aissieu en a: celles qui font entre la premiere & la derniere, ont des dents à leurs circonférences & à celles de leurs aiffieux; & la derniere, qui eft celle à l'aiffieu de laquelle le poids est attaché, n'a point de dents à fon aiffieu. Tandis que la premiere roue tourne de B vers A, les dents de fon aiffieu C font tourner la feconde de F vers E; & les dents de l'aiffieu G de cette feconde font tourner la troisieme de L vers I: ainfi fi celle-ci eft la derniere, la corde du poids P attachée à l'aiffieu O, s'entortille autour de cet aiffieu, & le poids monte. PROPOSITION LXV. 379. Si une puiffance A, perpendiculaire au rayon AC de la premiere roue, eft en équilibre avec le poids P attaché à l'aissieu de la derniere; la puiffance & le poids font en raifon compofée des raifons des rayons des aiffieux aux rayons des roues ; c'est-à-dire, la puiffance eft au poids, comme le produit des rayons des aiffieux multipliés les uns par les autres, eft au produit des rayons des roues (Fig. 182). DÉMONSTRATION. Suppofons d'abord qu'il n'y ait que la roue OL, à laquelle le poids eft fufpendu. La puiffance qui tireroit de L en X, perpendiculairement au rayon LO de la roue, & qui tiendroit le poids en équilibre, feroit à ce poids, comme le rayon OR de l'aiffieu eft au rayon LO de la roue; car les deux rayons OR, LO, forment un levier recourbé, dont le centre de mouvement est le point O. Ainfi nous aurions LO. OR :: P. ; & ce quatrieme terme feroit l'expreffion de la puiffance mise en L. PXOR LO Suppofons maintenant qu'il y ait une feconde roue GF, & qu'une puiffance tirant de F en Z, perpendiculairement au rayon FG de cette roue, foit en équilibre avec le poids. Il eft clair que les dents de l'aiffieu G de cette roue doivent faire le même effet fur la roue PXOR qui foutient le poids, que feroit la puissance OR. Ainfi la puisfance mise en F, étant en équilibre avec le poids P, feroit auffi quent PXOR en équilibre avec la puissance qui feroit en L; & par conféà caufe du levier FL dont le centre de mouvement eft le point G, nous aurions FG. LG:: ; & ce quatrieme terme exprimeroit la puiffance mise en F, qui feroit en équilibre avec le poids. PXOR LG LOXFG PXOR PXORXLG Mettant de même une troifieme roue CA, & une puiffance qui tire de A en V perpendiculairement au rayon AC, & qui foit en équilibre; nous prouverons auffi que cette puiffance feroit en équilibre avec la puissance qui feroit en F. C'est pourquoi à caufe du levier AF, dont le centre de mouvement eft en C, nous aurons AC. CF :: ; & ce quatrieme terme fera l'expreffion de la puiffance mise en A. Ainsi la puissance mise en A eft au poids P, comme eft à P; ou comme PXORx LGXCF eft à P×LOXFGXAC; ou enfin comme ORxLGxCF est à LOXFGXAC; c'est-à-dire comme le produit des rayons OR, LG, CF, des aiffieux, eft au produit des rayons LO, FG, AC, dẹs roues. PXORXLG PXORXLGXCF PXORXLGXCF DES POULIES. PROPOSITION L X V I. 380. Si une puiffance A & un poids P font en équilibre autour d'une poulie; la puissance & le poids font égaux (Fig. 183). DÉMONSTRATION. Si les directions BA, CP, font paralleles, elles toucheront la circonférence de la poulie aux extrémités B, C, du diametre BC. Or le point fixe de la poulie étant le centre D, la puiffance & le poids font le même effet que fi on les avoit attachés aux extrémités B, C, du levier BC; & par conféquent le moment ou la force de la puiffance A eft AxBD; & le moment du poids eft PxCD. Mais par la fuppofition AxBD=PxCD, puifque la puiffance & le poids font en équilibre : donc A. P :: CD. BD; & partant A=P à cause de CD=BD. Si la puiffance tire avec la direction EF tangente de la poulie, mais non parallele à la direction CP du poids, je mene du point E la droite ED au centre de la poulie, & j'ai un levier recourbé EDC, dont les bras ED, DC, font égaux: ainfi le moment de |