Fig. 54. rayon, eft à la de la fuperficie de tout le fphéroïde. 71. Trouver la fuperficie d'un conoïde hyperbolique formé par la révolution d'une partie quelconque AM d'une hyperbole autour de fon grand axe AP. Que C foit le centre Cc, une afymptote AC=b, un des demi-axes, & l'autre demi-axe Ac=a. Que CPb, PM =x. Maintenant par la nature de la courbe xyy-bb naydy aa bb =xx, & 2aaydy=2bbxdx, donc dx= bbx › par confé a+y2dy2 dx2= & l'élement de l'arc AM (— dx2→dy") a pour a2➡+b2. De plus PM est=† √yy—aa par la nature pa rb de la courbe; ainsi la circonference décrite par PM fera P Vyy-aa, qui multiplié par l'élement de l'arc déja trouvé, l'élement de la fuperficie d'un conoide hyperbolique formé par la révolution de la partie AM de l'hyperbole autour de l'axe AP, qui fe raporte à la même forme dans les Tables de M. Cottes, que l'élement de la fuperficie du sphéroïde dans le dernier exemple. Car faifant D= pa r bb, z=y, 0=0, ·64, f=cc, P= Vccyy—b4, Re T= Faites maintenant by, alors la premiere partie bb √ccyy—b*, de l'integrale fera Vcc-bb—a ; par confequent elle doit être retranchée de cette premiere partie.De plus en faisant b➡y, la partie logarithmique bb ab+bc deviendra C bb , G→Vccyy—b+ bb bb qu'il faut d'abord soustraire de , pour avoir la véritable partie logarithmique. Maintenant à caufe que le logarithme du raport de bb à ab +bc, ayant un figne affirmatif, eft le même que le logarithme du raport de ab-+bc à bb, avec le figne négatif (par la définition premiere, fection 2. fcholie 2.) par conféquent la fomme de Vccyy—b + C bb fera égal à la difference cherchée : mais le raport de cyV ccyy-b4 à bb, & le raport de bb à ab→ bc, forment le raport de cyt Vccyy—b+ à ab → bc, d'où il fuit que la fomme fusdite fera cy +Vccyy—b+ ·cy→Vccyy—b4 2rbb Vccyy—b4 pab2 ab-be , qu'on pourra faire de cette maniere. Que F foit le foyer de l'hyperbole, par la nature de cette courbe CF ( √ aa → bb)=c:CA (b)::CA(b):CE=~. Tirez EG perpendiculaire à CA, coupant l'afymptote en G. Dans l'angle CEG, infcrivez la droite CHCP (y) qu'il faut prolonger jufqu'à ce qu'elle rencontre la ligne PM au point I. Enfuite prenez KL égal à PI—AC=Vccyy—b+—a': on aura par la fimilitude des triangles CEH, CP1; CE ( - ): I y bb C EH ( = √ ccyy—b+ ) : : CP (y): PI = √ ccyy—b+. De plus, prenez LM égal à la mesure du raport qui eft entre I CH (y) → EH ( = √ ccyy—b+ ) & GC (b) → GE ( ); & la fuperficie formée par la révolution de l'arc AM autour de l'axe AP, fera au cercle décrit par le Fig. 55. EXEMPLE V I. 72. Trouver la fuperficie d'un conoide hyperbolique formé par la révolution d'une partie quelconque AM d'une hyperbole autour de fon axe conjugué CPB. Que C foit le centre, CA 4, le demi - axe tranfverfale, &CB=b, le demi- axe conjugué ; F le foyer, PM=x, une ordonnée quelconque à CA, & CP=y, l'abfciffe correfpondante. Maintenant par la nature de la courbe LL & fub aty3dy? anb+ × bb→yg a2+b2 × y+b+ bb-+" mais x=— pa rb pour produit bbyy, qui eft la circonference décrite par le point M, & fi l'on multiplie l'élement de l'arc par cette circonference on aura pady r bb √ a2+b2y2+ba, & substituant ce, pour a2+b2, elle fera pady Vccyy+b+, élement de la fuperficie formée par la révolution de l'arc AM, autour de fon demi-diametre conjugué CP. rbb Cet élement differentiel étant le même que celui du premier cas de l'exemple 4. fon integrale doit être la même que celle qu'on avoit trouvée dans cet exemple 4. par exemple, Faites CF (Vaa+bb=c ) : CB (b) : : CB (b) : CE= Tirez Tirez la ligne droite PE (-√ccyy➜b1), ensuite faites CE C ):PE ( — √ ccyy+b4) : : PC (y) : KL=/ V ccyy→b4, C & prenez LM égal à la mesure du raport qui eft entre PE ( = √ ccyy→+b+ ) + PC ( y ) ; c'est-à-dire, qui est entre bb C bb C & CE() au module CE () & la fuperficie formée par la révolution de l'arc AM de l'hyperbole autour du demi-axe conjugué CB, fera au cercle décrit paa 21 par le demi-diametre CA (a) ( qui eft ) comme la fomme des lignes KL & LM, font au même rayon CA (a). 73. Trouver la fuperficie formée par le mouvement Que A foit le centre, & que AB foit = BC; tirez pa- a+dy a+dy? dy = ; par confequent dj2: aady ** qui étant differentié donnera dx2; donc V dx2+dy2 =√ a+dx + √ a++y+ = Mm, élement de l'arc CM, qui étant multiplié par py donnera ydy√a^+y+, qui eft l'élement de la superficie formée par la révolution de l'arc CM. Cette differentielle peut fe comparer à celle de la troifiéme forme des Tables de M. Cottes, & on aura l'integrale en faisant D= 1, z=y, P Fig. 56. 0=0, n=4, e=a^‚f=ya‚P= √ a+++y1‚ R= aa, T= √ a'+y+, & S=yy. Car alors elle deviendra Va++++ Jaa→Va→**. Mais cette integrale doit être corri i+Va++y+ gée, parce que l'abfciffe AP, x, augmente pendant que l'ordonnée PM , y, diminuë; c'eft pourquoi les fignes doivent être changés ; c'est-à-dire, elle est — P at. [aa+Va++y+ + aa T De plus, puifque l'abfciffe AP, x, commence au point A, & non pas au point B, la même integrale doit être corrigée par raport à fon amplitude, ce qu'on peut faire ainsi. Faites y=a, alors la premiere partie de l'integrale sera ¦ praa√2, qu'il faut ajoûter à — 1 — P 2 √ a++y4, & cette fomme 1 paa √2 — 1 // Vat―+y+, fera la premiere partie de l'integrale corrigée. De plus la partie logarithmique ¦ ¦ aa | aa+Ya++y+ | doit être changée; ce qu'on peut faire en faisant a=y, car alors il vraye partie logarithmique; & par confequent la vraye in Tirez AM & AC, & du point C, tirez CG, parallele à AM, coupant l'afymptote AP, prolongée jufqu'en G. Maintenant à caufe des triangles femblables APM, ABF ; AP aa ( — ) : PM (y) : : AB (a) : BF—; d'où - √ a++y+ = a AF. De plus GC, étant parallele à AM, les triangles APM, GBC font semblables, & par conféquent PM (y) : AP ( * ) :: |