a3 CB (a): BG= d'où on tire CG== a++y+. Enfuite fi vous faites AH=AC ( a√ 2 ) —AF ( — √ a++y+ ) + la a3 mesure du raport qui eft entre BG (—)+GC(— ▼ a++y1), la raportée au module AB (a); alors la fuperficie formée par révolution de l'arc CM, autour de l'afymptote AP, sera au cercle dont le rayon eft AB (a); c'est-à-dire, = pas 27 comme & par conféquent la valeur de AH, multipliée par pa fera égale à ladite fuperficie. EXEMPLE VIII. 74. Trouver la fuperficie formée par la révolution de l'arc infini PZ de la courbe logarithmique, autour de fon afymptote AX. Que AP foit une ordonnée perpendiculaire à l'afymptote Fig. 57. que vous nommerez y; que TP foit une tangente au point P, & que la foutangente invariable AT foita; tirez pm, parallele à AT, & infiniment proche du point P. = Préfentement à cause de la fimilitude des triangles ATP, mpP, on a AP (y) : TP (√ aa+yy ) : : mP ( dy ) : pP à l'élement de l'arc PZ, qui étant multiplié dy √aa+yy 2 AO . Maintenant on peut raporter cet élement à la quatrième forme des Tables de M. Cottes, en mettant y, 2, 0, 2, 44,I. pour ≈, ",, D, e, f. De plus en mettant pour P, R,T, و I a √ aa→yy, I, √ aa➜yy, &—; l'on aura pour la differentielle 2dy Vaa+yy, & pour l'integrale yV aayy +aa p + va p→ Vaa y Vaayy a Pour conftruire cette integrale il faut observer que la ligne droite 40, eft moyenne proportionnelle entre a & Y a a Vaa+yy +a | a+Van+yy ; & la quantité √ aa+yy, est égale à la ligne droite PE perpendiculaire à la courbe en P, & bornée par l'afymptote en E: car à caufe de la fimilitude des triangles TPA, APE; TA (a) : TP (√ aa−+JJ ) :: AP (y): PE=Vaayy; & l'autre quantité 4 Vaa→yy; & l'autre quantité a '→Vas→+”, eft la mesure du raport qui eft entre AP÷TP,& AT au module AT, ou, par la fimilitude des triangles APF, APE, la mesure du raport qui eft entre AE÷EP & AP, au même module AT. Ainfi cette integrale peut fe conftruire de la maniere fuivante. a a Tirez PE (Vaa➜yy ) perpendiculaire à la courbe au point P, terminée à l'afymptote en E; continuez l'ordonnée AP en L, de telle forte que AL foit = AE وو a EP (" + = √ aa +yy), & tirez LK dans le même sens de la courbe, c'est-à-dire, vers Z, que vous ferez = EP (Vaayy), & que cette même ligne LK coupe la cour a a be en M ; enfin entre KM (2 √ aa→ÿÿ +a | '→+Vaa+y & AT, trouvez une moyenne proportionnelle 40 ( LM par la nature de la courbe, étant la partie logarithmique)qui fera le rayon d'un cercle égal à la fuperficie formée par la révolution de l'arc infini PZ. 75. Trouver la fuperficie formée par la révolution de l'arc Tirez l'ordonnée PM perpendiculaire à l'afymptote, & Fig. 42. infiniment proche de cette perpendiculaire. Enfuite faisant AB—a, AN=x, MN étant perpendiculaire à AB mp l'élement Mm de l'arc MZ, fera P plié par xa-x= 11 adx V4a -3x ; qui multi × MP, donnera pour l'élement de la fuperficie formée par la révolution déja expliquée de l'arc padx 44-3x MZ 27 x Maintenant on peut raporter cet élement à la onzième forme des Tables de M. Cottes. Car faifant z=x pa 0=1, D= e=4a, f=—3,g=a, & h——1, la dif 21 48-3x ax & l'integrale DPQ+ cb=f$ DR, & faifant P ( √e―f2" )=√ 44—3x, ufb Q ( √g—hz")=√ a—x‚R (√ ‡ ) =V 3,T(V e+fx" √3a—3x→V/4a—3x qui eft l'integrale de la differentielle fignes négatifs dans les deux parties. On peut conftruire à prefent cette integrale de cette façon: coupant MN en F, & tirez AFE, coupant l'afymptote en E faites DB moyen proportionnel entre AB & NB; de même, que l'angle CAB foit d'un angle droit, & con = tinuez l'afymptote jufqu'en B, coupant AC au point C ; alors -2 BC; car VBC + AB2BC; donc BC+AB 23 --2 =4BC; ainfi 23 23 De plus AFV, & à caufe de la simili 2 x tude des triangles ANF, ABE; AN (x) : AF ( — √ 1a13) :: NB (4-x): FE = √ 44 — 3× × Va―x ÷ V 4aa3ax 3 4a V a & DC = Mais la fuperficie formée par la révolution de l'arc infini MZ, eft à un cercle (=) dont le rayon eft AB (4), paa 21 comme 2EF (V 44—3x × Va-x)+ la mesure du raport qui eft entre BD, (√ aa—ax) + DC (V4aa—3α.x Faifant préfentement x=o dans l'integrale déja trouvée, pa on aura × 24+ pa X 2r a √3a+27a , qui eft l'integrale qui exprime la quantité de l'arc infini AZ, étant à un cercle dont le rayon eft AB (a) comme 2AB+ la mesure du raport qui est entre BA (4) +AC ( — ) & BC (-) au mo dule BC, & la difference de ces integrales en retranchant pa 27 , par exemple, 2AB ( 2a) — EF ( √ 44—3× × √ a—x) ➡ la mesure du raport BA(a)→AC ( — ) à BD ( √ aa—ax) V4aa-3ax 23 a BA +DC ( ), le module étant BC ( ): donnera la 23 quantité de l'arc fini AM. Car elle fera à un cercle ayant BẢ pour rayon, comme cette difference eft au même rayon BA. Quand la courbe fait fa révolution autour de la baze AB, M. Cottes dans fes harmonia menfurarum, donne la quantité de la fuperficie formée; mais l'opération eft longue & difficile, les differentielles ne pouvant fe raporter directement à aucune de ces Tables. SECTION VI. Ufage du calcul differentiel & integral pour trouver le centre de gravité des figures. PROBLEM E. 76. Trouver le centre de gravité d'une figure plane. Ue AB foit l'axe, & MN une ordonnée à cet axe, Fig. 58. & que mn foit une autre ordonnée infiniment proche de la premiere, & fupofé que C foit le centre de gravité. Maintenant fi on conçoit les parties infiniment petites MmnN, de la figure comme autant de petits poids fufpendus à l'axe AB, par les differens points P, P, P, &c. & que le point de fufpenfion foit en A, fommet de la figure, la diftance du centre de gravité C à A, point de fufpenfion, fera égale au quotient de la divifion de la fomme des efforts de tous ces poids infiniment petits MmnN divifée par fomme de toutes ces petites parties ou poids, c'eft-à-dire par l'aire de toute la figure. Ceci eft évident fuivant les principes de la méchanique ordinaire. = la C'est pourquoi, nommant AP, x MP, y, Pp, dx, la partie infiniment petite, ou le petit poids MmnN fera 2ydx & leur fomme totale fera = = à l'integrale de 2ydx, & l'effort d'une de ces petites parties ou poids, fera 2ydx, multiplié par AP(x)=2yxdx, dont l'integrale divisee par l'integrale de 2ydx= AC, distance du centre de gravité de A, fommet de la figure. 77. Trouver le centre de gravité d'un triangle ADE. Tirez la ligne droite AB, coupant la baze DE en B, après Fig. 59. |