Il eft abfolument neceffaire, pour entendre ce theoreme, d'observer tous les termes qui multiplient la même puiffance de z pour cet effet on doit confiderer dans chacun de ces termes deux choses; 1o, le produit des puiffances quelconques des quantités ou coefficients donnés a,b,c,d, &c. 2o, le produit de X &c. qui eft mis devant les

termes.

m MI

2

Maintenant pour trouver tous les produits qui appartien+ de z nent à la même puiffance ; par exemple, pour trouver le produit dont l'expofant eft m-+r, (r étant un nombre entier quelconque ) ces produits doivent être diftingués en plufieurs claffes. Ces produits, après une certaine puiffance a, par la- + d'a quelle ils commencent, font ceux de la premiere claffe;

comme am-1b3e eft un produit de la premiere claffe, parce que b fuit immédiatement am-4. Ceux qui ont c immédiatement après une puiffance d'a font les produits de la feconde claffe; ainfi amcc d, eft le produit de la feconde classe. Ceux qui donnent d, immédiatement après une certaine puiffance d'a, font les produits de la troifiéme claffe; ainsi du refte.

& di

ex

Ceci bien entendu ; 1°. Multipliez par b tous les produits qui appartiennent à zmr, qui précede immédiatement 2m-, & divifez le tout par 4. 2°. Multipliez par c, vifez par a, tous les produits qui appartiennent à zm+r—2 excer té ceux de la premiere claffe. 3°. Multipliez par d, & divi ez par 4, tous les produits appartenans à 2m+3 cepté ceux de la premiere & de la feconde claffe. 4°. Multiplicz par e, & divifez par a, tous les termes appartenans à zm+r+, excepté ceux de la premiere, feconde & troifiéme claffe, continuant ainfi jufqu'à ce qu'on ait trouvé deux fois le même terme. Enfin ajoutez à tous ces termes le produit de 4 par la lettre dont l'expofant eft r+I.

Nota. L'expofant d'une lettre eft le nombre qui exprime la place qu'elle occupe dans l'alphabet, comme 3 eft l'expofant de la lettre c.

Il eft clair qu'on peut facilement trouver par cette méthode tous les produits appartenans à la feconde puiffance de z, fi vous mettez le produit appartenant à zm comme 4.

Maintenant pour trouver le produit (a) mis devant les termes, confiderez la fomme de toutes les unités qui font contenues dans l'expofant des lettres qui les compofent dont il faut excepter l'expofant d'a; pour lors écrivez autant de termes de la ferie m×m - IX M 2 &c. qu'il y a d'unités dans la fomme des expofans; cette ferie fera le numerateur d'une fraction dont le dénominateur fera le produit de ces diverfes feries 1×2×3×4×5 &c. 1×2×3×4×5 &c. 1×2×3 ×4×5×6 &c. dont la premiere contient autant de termes qu'il y a d'unités dans l'expofant de b, la feconde autant qu'il y en a dans l'expofant de c, la troifiéme dans d, &c.

Vous pouvez en voir la démonftration dans les tranfactions ci-deffus citées. Un ou deux exemples donneront l'ufage de ce theoreme.

EXEMPLE I.

Pour élever à la feconde puissance ou au quarré cette serie infinie →→→→ + + + &c.

ou

I

I

En fuppofant dans ce theoreme m=2, z=x,

11+ 2+ 3+ 4, &c. pour le premier terme am1⁄2‚m

4

I

xxx)=. Le second terme

xx

Pour quarrer cette ferie infinie 1-x++x2+x2+ &c. fu

pofant dans ce theoreme m=2, z=x.a=

←——1, `d—1, &c. ainsi 1—x++x2—x+x+. &c. fera

—I—2x−3x2—4x3-5x4&c. Car am2m

— —I × x2.)

-2x3.

Pour élever 1-x—+x3—x5+x7, &c. à la troifiéme puif fance ou au cube.

Supofez m=3. z=x. d=

— — 1, b = 0, c = 1, d=0.

Alors la troifiéme puissance donnera 1—3x-3x2+2x3—

-3

am—1 bz m+1 (=3 × — — 1×0××1)=0

m MI