fur l'excellente méthode de feu M. Cottes Profeffeur d'Aftronomie & de Philofophie experimentale dans l'Univerfité de Cambrige, publiée après fa mort fous le titre de Harmonia Menfurarum, par fon fucceffeur M. Smith touchant la maniere de trouver les integrales des differentielles par les mesures des raports & des angles. On évite par cette méthode la peine de réduire les quantités en feries infinies, qui fe trouvent très-incommodes en bien des occafions; fouvent même à caufe de leur lenteur à converger on ne s'en fert pas. Mais la bonne façon pour integrer les differences, eft de les trouver géométriquement,à l'aide des amples tables de Logarithmes deBriggs; de même que pour trouver la mesure des raifons & des raports, on fe fert d'une grande table de finus & tangentes pour la mefure des angles. De-là on peut tirer un merveilleux moyen pour réfoudre tout probleme quelque compofé qu'il foit comme la quadrature d'une efpace curviligne, la rectification des courbes, la cubation des folides, &c. dans lefquels les integrales des differentielles données font employées. Je donnerai plufieurs exemples à ce fujet. Dans le livre que je viens de citer, il y a deux feries ou tables, où à la tête de chaque page fe trouvent plufieurs formes de differences avec leurs integrales qui font exprimées au-deffous par la mesure des raifons ou des angles. Une de ces deux feries eft compofée par M. Cottes lui – même, & l'autre par le Docteur Smith. Dans les tables de M.Cottes, aufquelles je me bornerai, comme étant fuffifantes pour ce que nous nous propofons, & même pour ce qui fe prefente ordinairement, z eft la quantité variable; D, e, f, font des quantités conftantes; eft un expofant general d'une puiffance quelconque de z, • un nombre quelconque affirmatif ou negatif, & les quantités R, S, T, font toujours les trois côtés d'un triangle rectangle, dont les valeurs placées au bas de chaque page, expriment le raport ou l'angle; & c'eft par leurs mefures qu'on a les integrales des differences données. Si R eft la racine quarrée d'une quantité affirmative, elle exprime une raifon, étant toujours comme RT, à S. Mais fi R eft la racine quarrée d'une quantité négative, elle dénote un angle qui fera toujours comme la tengente & la fecante font au rayon, ou comme T & S eft à R, où la quantité négative eft changée en affirmative. Dans les colonnes de chaque page des tables, où eft à la tête, font une partie des valeurs affirmative & négative de, vis-à-vis lefquelles fe trouvent les integrales des diffe Mais on ne peut bien déterminer ces integrales que lorfque la quantité RR+ eft connue, qu'on apelle la mesure du raport, ou raison de R+T & S au module R, quand R eft affirmatif, ou jusqu'à ce que la quantité че ou DR R-T 2 ou че & de S au module 26 F DR uff T+R S Dr*, foit trouvée dans plusieurs integrales, dont le premier eft la mesure ou raport de RT, 2D de RT & de S au module R; & le troifiéme de R―T, , че la & de S au module DR. Or quand R eft négatif, la quantité RR eft = à la mesure d'un angle dont le rayon, R|Rest tengente, & la fecante, font les valeurs refpectives de R., T & S au rayon R comme à un module. Je donnerai bientôt la maniere de trouver la mesure d'un raport ou d'un angle à un module donné; mais il eft à propos de donner auparavant quelques définitions ou explications des termes pour fe rendre plus claires, & afin qu'une perfonne puiffe entendre avec ordre l'ufage de ces excellentes tables, fans être obligé de lire les propofitions de la premiere partie de harmonia menfurarum, qui font traitées trop generalement pour être conçues par une médiocre capacité, & fans beaucoup d'aplication. DEFINITION I. La raifon d'un raport eft une quantité quelconque proportionnelle à ce raport; c'est-à-dire, fi M, eft la mesure du rade ▲, à B, ou de ⁄ ; & m, port a A ; & m, la mesure du A B raport de 4 à b, ou; alors on aura M: ::m;. Ainfi les raisons égales ont les mêmes mefures: fi un raport eft le double de l'autre, la mesure du premier fera double de celui du second; fi le premier eft triple du fecond, la mefure du premier fera triple de celle du dernier ; fi la moitié, la moitié &c. de forte que fi on augmente ou diminuë par compofition ou refolution, fa mefure fera également & proportionellement augmentée ou diminuée. Il faut obferver que la mefure d'un raport d'égalité eft o, & fi la mesure d'un raport d'une quantité plus grande à une moindre, eft fupofée pofitive, alors la mesure du raport d'une quantité petite comparée à une grande, fera négative. La mefure numerique d'un raport, eft l'excès du logarithme d'un nombre marquant l'antecedent au- deffus du logarithme d'un nombre exprimant le confequent; c'est-àdire, le logarithme du quotient de la divifion de l'antecedent par le conféquent, eft la mesure numerique d'un raport numerique, La me fure trigonometrique d'un angle, eft la quantité de degrés, de minutes, de fecondes, &c. compris dans cet angle. Le module des logarithmes de Briggs, Vlaque, &c. cft O, 434294481903, &c. par lequel l'unité étant divifée, le quotient 2, 302585092994, &c. fera le module réciproque du logarithme déja cité, c'est-à-dire, le quotient de la divifion d'une quantité quelconque par le premier module, est égale au produit de cette quantité multipliée par le module reciproque. Cette Cette définition, ou plûtôt cette defcription de la quantité du module des logarithmes, eft fuffifante pour ce que je me propose. Ceux qui n'en feront pas fatisfaits, pourront confulter la premiere propofition, les corollaires & les fcholies de la premiere partie de harmonia menfurarum. On peut en ufer de la même façon pour les définitions fuivantes, qui font des conféquences de la propofition. Voyez les Notes de l'ingénieux M. Smith, page 94, à la fin de ses harmonia menfurarum. Le module trigonometrique, ou le nombre de dégrés contenus dans un arc de cercle égal au rayon, eft à 180 degrés, comme le rayon du cercle eft à la demie circonference, eft 57° 17' 44' ou 57, 2957795130; par lequel l'unité étant divifée, le module réciproque de la regle trigonometrique eft o, 0174532925. 9. R-T R Trouver la mesure d'un raport donné, à un module donné; ou trouver la quantité de l'expreffion R étant la racine quarrée d'une quantité affirmative, & R, T, S, les trois côtés d'un triangle rectangle. R+T S Formule. Comme le module du logarithme o, 434294481903, &c. eft au module R du raport R-T à S; ainfi le logarithme de ce raport eft à fa mefure, ayant R pour module qui est égal à KỈ ou bien multipliez le produit du logarithme du raport propose R-Tàs, & de la quantité R comme module, par le module réciproque 2, 302585092994, &c. ce fecond produit eft la mesure du raport R+T à S avec R, qui en eft le module, & il est égal à la valeur de R quantité cherchée, R-T S Voici un exemple numerique; foit R-8, T-6, S=10. Le module du logarithme o, 434294481903: 8:: le logarithme (de 1)o, 1461280: 2, 6916777— à la mesure E Fig. 2. du raport de 14 & 10 au module 8, égal à 818-6. 10 Ou pour abreger, 1: recip. mod. log. 2, 302585092994 :: le logarithme(de 14) o, 1461280 × 8: module donné, 2, 6916777 mesure du raport comme ci-devant. IO Ce probleme peut être réfolu fans calcul, par le moyen du fecteur d'une hyperbole, de la maniere fuivante. Que AG foit une hyperbole, CA la moitié de fon diametre vay casier p. pag.1. CB, la moitié du conjugué, & C E, une afymptote. Tirez 42, parallele à CB, enfuite faites R:T:: AQ: AD, & fi CA × CB eft=2R, le secteur CAM=R|R+ R\R+; le triangle CAD étant égal à 7, quand 7 eft moindre que R, & le triangle CBE, égal à 7, quand T eft plus grand que R. 10. Il fuit de-là que fim eft un module conftant du logarithme, & le logarithme du R+T raport S › pour lors on bre entier quelconque, & n un autre, cette forme fuit la nature des logarithmes. |