12.

Trouver la mesure d'un angle, dont le rayon eft comme R, la tangente comme T, & la fecante comme S, à la quantité R, comme module: ou trouver la valeur de cette Rétant la racine quarrée d'une quan

expression R

R-T
S >

tité négative, par conséquent impossible ; toutes étant des quantités données.

Formule.

D

Ites premierement, comme la valeur de R eft à la valeur de T, ou comme la valeur de R eft à la valeur de S, ainfi dans les tables les rayons des tangentes & fecantes, font aux tangentes ou fecantes de l'angle à mesurer, vis-à-vis defquels fe trouve la valeur de cet angle en degrés ou minutes, &c. en étant la mesure trigonometrique enfuite dites comme le module trigonometrique 57°, 17', 44'', ou 57, 2957795130. eft à la mefure trigonometrique jufte de l'angle, ainfi le module de cet angle; par exemple, R eft à la mesure dudit angle, ayant R pour module égal à la quantité R R

:

R-T

; ou bien

multipliez le produit de la mesure trigonometrique de l'angle par le module R, par le module réciproque logarithmique o, 0174532925, & ce fecond produit eft la mesure de l'angle au module donné R.

En voici un exemple numerique ; que R=16, T=12, S=20 on a 16: 12 comme le rayon 10000000 : 7500000= à la tangente, & 16 : 20 : : le rayon 10000000: 12500000 à la fecante.

=

Vous trouverez vis-à-vis dans les tables 36°, 52 ́,6′′, pour la mefure trigonometrique de l'angle.

Ou bien; le module trigonometrique 57, 2957795130: à la mesure trigonometrique 36, 86833331: : le module 16: 10.4330985 à la mesure de l'angle, dont le rayon comme 16, la tangente comme 12, & la fecante comme

=

eft

Obfervez qu'on abrege bien plus en fe fervant du module

Fig. 3.

05.18 Jay Cas yournal peagi oy

voy pag. 109.110

111 grand journ.

réciproque 0174532925. qu'en fe fervant du directe, & L. opérations font bien plus courtes, en fe fervant des logarithmes pour trouver le quatriéme terme de la proportion dans les problemes précedens comme dans celui-ci.

On peut peut réfoudre également ce probleme, ou par le moyen d'un fecteur de cercle, ou par celui d'un élipfe, de la maniere fuivante. Que CA, CB, foient les rayons d'un quart de cercle, ou demies axes d'un élipfe AB; tirez l'une fur l'autre égal à 2R; tirez A Q, parallele à C B, & BG, parallele à CA; faites enfuite RT:: C B : AD; tirez la ligne droite CMDG'; alors le fecteur CAM est égal à R S quand R eft plus grand que Tau triangle CAD, & le fecteur CBM=RR, quand R est moindre que Tau

triangle CBG.

R-T

Remarquez que quand par hazard S, fe trouve la racine quarrée d'une quantité négative, & par conféquent impoffible, vous pouvez changer le figne, & vous parviendrez également bien à la folution..

cantes,

COROLLAIRE..

13. Si a eft un angle dont les rayons, tangentes & fcfoient R, T, S, & quem foit un module conftant,, alors RR+T

aR

m

SCHOLI E.

14. R, T, S, étant toujours les trois côtés d'un triangle rectangle ; donc RR+T R

nufe

S

S

-R

fupofant T l'hypothe

; car par la proprieté du triangle rectangle T

trouverez V RRSS+R × VRRSS-RSS; la fomme de deux nombres multipliés par leurs differences étant égale

Ceci paroît évident par la figure 83; car que l'hypothenufe AB-T, la perpendiculaire CBR, & la baze AC=S, *continuë AB, jufqu'à ce que BD=BC=R, faites BE=BC } alors vous aurez AD=R÷T, & AE=T-R : fi l'on décrit un cercle autour de B, de l'intervale BC, comme rayon, il paffera par E & par D, & AC le touchera au point C; par conféquent par la trente-fixiéme propofition, liv. troisième

2

d'Eucl. AC (SS) — AD × AE=RT × T—R ; donc

c༠ཨ་་༥ ཀ6

Fig. 1.

Fig. 4.

SECTION III.

Ufage de la methode des integrales pour la quadrature des efpaces curvilignes.

A

PROBLEM E.

15. Quarrer un espace curviligne.

Yant trouvé l'équation qui exprime le raport d'une abfciffe quelconque AP (x) à son ordonnée correfpondante PM() qui la coupe à angles droits, cherchez d'abord la valeur de y qu'il faut multiplier par dx; l'integrale de ce produit exprimera la quadrature de l'efpace mixtiligne indéterminé, compris par l'abfciffe AP, l'ordonnée PM, & la courbe AM; & fi l'abfciffe AP eft déterminée, par Ex: égale à une grandeur donnée a, la courbe conféquemment le fera auffi; ainfi en fubftituant a pour x dans l'integrale déja citée, il en résultera une expreffion qui fera la quadrature de l'efpace mixtiligne déterminé. Les exemples fuivans rendront ceci plus intelligible.

Mais fi l'aire C D E F eft contenue entre deux courbes ou lignes droites DE, CF, la ligne droite CD, & la partie d'une droite EF d'une ligne quelconque AE tirée d'un point donné 4, pris dans la droite CD; alors tirez Afe, infiniment proche de AFE, & du centre A décrivez les petits arcs Fp, Eq; enfuite par la nature de la courbe, trouvez l'aire de l'efpace quadrilatere FEqp, qui est égal à la difference des petits fecteurs AFP, AEq, ou égal à ou égal à — AE

2

2

× Eq—— AF × Fp. égale à l'espace FE eƒ, difference de l'aire CDEF, dont l'integrale fera égale audit aire. Je donnerai dans la fuite des exemples de ceci.

Tirez AD, perpendiculaire à un des côtés, comme BC, Fig. yo dans laquelle prenez entre le point A & D le point P, fur lequel tirez la ligne MN perpendiculaire à AD; que mn foit infiniment proche & parallele à MN, & tirez M P N , q perpendiculaires à MN; alors le rectangle MNqp, compris par Mp & Nq, ou Pp, & l'ordonnée MN, eft félement de l'aire indéterminée AMN, qu'on trouvera ainsi.

Que la quantité variable AP foit apellée x, P M,y, les conftantes & données AD, a; CB, b, & parce que MN eft parallele à BC, on aura AD (4): CB (b) :: AP (x): MN (y), d'où on tire y==: *: mais Pp (=Mp=Nq)=dx : ainsi l'élement de l'aire indéfinie AMN, eft * dx, dont l'inte

bx

a

grale est, selon le second cas,

maintenant si au lieu de AP (

ba

bx2

20

x

bx

a

qui eft égale à l'aire AMN ;

) vous fubftituez AD (a)

vous aurez ( = 1; ab ) = { AD × CB, aire totale de tout

20

le triangle ACB; ce que nous fçavons d'ailleurs être vrai par les élemens de géometrie.

Nous n'oublierons point ici de donner la maniere de Fig. 6 trouver,par les integrales,l'aire d'un trapeze GPC B ayant deux côtés PC, GB, paralleles, & les angles B, C, droits : il cft vrai qu'on les trouve plus promptement par les élemens communs de la géometrie, mais il eft agréable de découvrir la verité par plufieurs points de vûë.

Pour y parvenir, continuez CB & PG, jusqu'à leurs rencontres en A, du point A tirez Amp, infiniment proche de AGP, & des distances Am, Ap; décrivez du centre Ales arcs femblables mr, pn, enfuite faites AB=a, BC=b, BG=x, AG=y. Maintenant à caufe de la fimilitude des triangles ACP, pPn, qui ont les angles C, & n droits, & l'angle P commun, on aura AG (y): AB (a) :: Gm(dx); qui étant multiplié par — Ar (— — 46— =2)

mr

adx