xy. m-n Sim eft plus grand que n, alors la quadrature de l'efpace indeterminée HMPAS est toujours m m -18 AP × PM: mais fim eft moindre que n; alors xy, eft une quantité né- , I 3. 4 3 3 alors ainfi le numerateur eft in VIII. 25. Quarrer l'hyperbole ordinaire avec fes afymptotes, ou, Fig. 8. Soit la quantité donnée AC=b & foit C l'origine de x, =y&ydx élement de (y) sera a2=by➡xy ; ainfi a2 l'aire, fera dx. b+x Maintenant, fuivant le troifiéme cas, fection premiere fon integrale sera x——=—- x2+ a2x4 +, &c.— 262 a2x3 363 464 à l'aire CcMP; & fi vous fupofez a=b=1, alors x— + — ×3— — xa, &c. — à l'aire dont on a déja parlé. Autrement. Par la mesure d'un raport ou d'un angle. a2 b+x La differentielle dx, peut fe raporter à la premiere forme dans les Tables de M. Cottes; car faifant zx,"=1, 8—1, D=a2, e=b, f=1, on aura dx, & l'integrale qui répond à AC AP AC DzI D nf égale à la mesure du raport de AP & AC, à AC, comme au module que vous trouverez, article 9, égal à l'aire de l'efpace CcMP; & fi l'afymptote AS n'eft point perpendiculaire à As, & que l'ordonnée PM, qui lui eft parallele, ne foit point perpendiculaire à l'abfciffe AP, la mefure du raport de AP à PM, avec le parallelograme ACc, comme module, donnera l'aire de l'efpace CcMP, Ceci eft démontré par fynthefe, page 12, partie premiere de harmonia menfurarum. EXEMPLE I X. 26. Trouver l'aire ou espace ACMP, contenu par la partie AP (x) d'une ligne droite infinie & perpendiculaire à l'axe de l'hyperbole, par la ligne AC, (a) continuation du même axe, & par une ligne quelconque ou ordonnée PM (y) parallele à AC. Ici aa➡x x=yy; donc y=√ aa→xx & pdx=dx Fig. 9. Vaa+xx, differentielle dont, fuivant le troifiéme cas, fection premiere, l'integrale : 1152a7 =ax x3 ба x7 11245 5x9 &c. à l'aire ACMP cherchée, qui donne la quadrature du fegment hyperbolique DCM, en le fouftrayant du rectangle ADMP (jdx); & fi 41; alors la ferie eft 549 &c. x-+ 40 x7 112 11327 Autrement. Par la mesure d'un raport ou d'un angle. La differentielle dx Vaa+xx fe raporte à la quatriéme forme des Tables de M. Cottes: Car fi z=x, n=2, V;-)=—. Alors l'integrale deviendra —√ a à l'aire ACPM; c'est-à-dire, AP × PC plus la mefure du raport de AP-PC, & de AC à AC, comme module, fera l'aire. La quadrature de l'efpace hyperbolique AMP peut fe trouver comme M. Cottes le dit dans fon harmonia menfurarum de cette façon. Fig. 10. Faites le demi-diametre conjugué C Bb, le demi - tranfverfale CA=a, CF=x,PM=y; enfuite par la proprieté de la courbe on a b - Vxx—aa =y, ainfi - dx √ xx—aa, b a à l'élement de l'efpace AMP. b Maintenant faisant D= a a z=x, 0=0,»=2, e=—aa, f=1, la differentielle de la quatriéme forme dans les Tables de M. Cottes, par exemple, Dz b dz Ve+f2" deviendra – dx √ xx—aa & fon integrale qui répond à a 6=0, donnera DF + DR √e+fx" ) = = — V xx—àa‚S (=V — ) = — ; cette integrale viendra, pour y fa valeur - Vxx-aa. Et par l'article torziéme, quand le raport de x + √ xx—aa à a est dx V xx-aa qu'on peut conftruire ainsi. Faites CF: CA (a) : : PM(y) : CB (b); c'est-à-dire, faites ay = ; faites enfuite CG: CA (a) :: CB (b):PM(y), c'est Ֆ le triangle rectiligne HMP eft égal à l'efpace AMP. Car il est ver la quadrature de l'efpace hyperbolique exterieure CAMP, Fig. 11. de la même maniere, il faut s'y prendre ainfi. Que AC, CB, foient les deux demi-diametres conjugués AC=4, b =y, par la proprieté de la courbe. Differentiant cette équation, vous aurez bbx dx= abyxx- -aa bx avxx-aa dx ; mais dy × x= = à l'élement de l'espace hyperbolique CAMP. bbx dx=dy= aay avxx—as Maintenant faifant D= b = étant 1, donne ༢ DP "ff S faisant P (=√ a—+√x*_) — — √ xx—aa, R (= √ƒ)=1, Prenez CF : CB (b) : : PM (x) : AC (a) ; c'est-à-dire, fai bx tes CF= ; & CG; CB (b) : : AC (a) : PM (x); ou ce qui ; enfuite fi vous prenez CH égal à la mesure du raport de BC (b) & PF ( bx au raport de 4, à x— 7), au module CG ( * ): le même |