rence de cette équation, viendra dy = dx × —

aa+4ax+4xx xa-x

Va+3x.

adx

2x

4x3

dx2+dy2

*

Prefentement la comparant à la quatrième forme des Tables de M. Cottes Dz (" + " — dz √e+fz", faisant z=x,

D= 1⁄2 4, 0——1, »—1,e=a, ƒ=3, on aura P (√ a‡ƒ1⁄2"

a,

at

e-+fx" = √3; T (V2+

)

V & S ( V — ) = V = . Ainfi l'integrale DP

→ DR |÷, deviendra l'integrale de la differentielle

Pour conftruire préfentement cette integrale; tirez AC (V44) coupant l'afymptote en €, de maniere que CAB foit le tiers d'un angle droit ; que BD (Vax) foit moyen proportionnel entre AB ( a ) & PB (x); tirez enfuite CD, (√ aa+ax ). De même tirez AE, coupant PM}; a +3*, & vous aurez l'arc AM de la cifsoïde — 2.AE—

=

Vfage du calcul integral dans la cubation des folides
& dans la quadrature de leurs furfaces.

52.

PROBLEM E.

Cuber on mesurer la folidité d'un corps quelconque,
formée par la révolution d'une figure plane
AMN autour de l'axe A2;

Irez l'ordonnée pm, infiniment proche de PM; enfuite on peut prendre le parallelograme PMrp, pour le trapeze PMmp; par conféquent le cylindre formé par le petit parallelograme PMrp, pendant que la figure ANQ se meut autour de l'axe A2, peut être pris pour l'élement de la portion du folide,formé par la circonvolution de la portion AMP de cette figure plane; & l'integrale de cet élement fera égal à la folidité de cette portion conçue, comme compofée d'un nombre infini de cylindres, chacun d'une hauteur infiniment petite.

T

Faites AP=x, PM=y, & que le raport du rayon du cercle à la circonference, foit exprimé par. Alors la circonference du cercle décrit par le rayon PM sera=”/-, & l'aire dudit cercle fera 22, qui étant multiplié par Pp. (dx)

卫

21

deviendra y2 dx= à la solidité dudit cylindre PMqp, ou
ce qui eft la même chofe à l'élement de la portion du
folide; & fi pour y2, vous fubftituez fa valeur prife dans
l'équation de la courbe AMN, vous aurez une expreffion
differentielle affectée d'une feule quantité inconnue x, dont
l'integrale exprimera la folidité cherchée,

1

par

Un cone droit la révolution d'un Fig. 43. être formé peut triangle rectangle ABC, autour de fon côté ou axe AB, AP=x, PM=y, Supofons maintenant AB-a, BC=r, AP—x, alors à cause des ariangles femblables APM, ABC ; AP ( x ):' PM (y) :: AB («) : BC (r) ; donc ==y; & quarrant cha

=yy. C'est pourquoi pdx (

prx2dx pr2x2dx

21

(fubftituant pour y )

6a2

a

= à l'élement de la folidité de la partie du cone formé par le triangle APM, dont l'integrale prà la folidité de la partie du cone ; & fi vous fubftituez a pour x, la folidité de tout le cone fera pra =}; apr × }; a= { pr × ¦ 4, c'està-dire, qu'il faut multiplier la baze par de la hauteur.

pra3

6A2

I

$4. Mefurer la folidité de la Sphere, ou une portion quelconque d'icelle.

le

• art. 520

La fphere eft formée par la révolution d'un demi-cercle Fig. 44 ABa, autour de fon axe ou diametre ACa, que rayon ACY, APx, PM=y, enfuite par la proprieté du 2 prxdx-px3dx cercle generateur yy=2rx-xx ; donc

3prx2-px3

à l'élement du fegment de la sphere formé pcr la revo lution du demi fegment du cercle APM, dont l'integrale= = la folidité du fegment AMm; & fi on fubftituë tout le diametre 27, à la place de x, la folidité de toute la sphere fera =

=2pp2 - 3 pr2 = 3; pr2 = 2pr

X r; c'est-à-dire, qu'il faut multiplier par (r) dù rayon ou du diametre, le rectangle du diametre ar, &

D

Fig. 45.

de la circonference p; & fi le diametre 271, alors la folidité de la fphere

=

Il fuit de-là qu'une fphere eft égale à une piramide quadrangulaire, dont la baze eft le rectangle produit par le diametre de la fphere 2r, & par la circonference du cercle dont la hauteur est égale au tiers du demi - diametre de la sphere.

COROLLAIRE

I I.

Puifque la folidité d'un cylindre circonfcrit à une fphere eft pr2; ainfi elle eft à la fphere, comme pr2 eft à pr2, où comme 3pr2 à 2pr2, ou comme 3. à 2.

55. Si EDBF eft un cylindre droit, & que la partie DBM AF, foit coupé par un plan DFA paffant par le centre C de la baze inferieure, & par F extremité du diametre FD de la fuperieure; on demande à mesurer ou cuber cette partie DBMAF, qu'on apelle l'onglet.

Que AD, foit perpendiculaire à BE=2r, tirez CF, & d'un point quelconque P, dans AD, tirez PM, parallele à CB, & PN, parallele à CF, joignez les points M, N, & nommez la hauteur FB, a. Maintenant un triangle quelconque PMN, rectangle en M, formé comme nous venons de dire, eft femblable au triangle rectangle CBF. Cela fupofe, nommez CP, x; enfuite on aura PM r-xx ; & CB(r) :BF (4) : : PM (√rr—xx) : MN=~√rr—xx; eft PM × MN = & l'aire du triangle PMN rr-xx, qui étant multiplié par Pp (dx) fera

·2

a

arrdx-axxdx

21

= l'élement de la partie APMN de l'onglet; dont l'integrale

fera

arx

2

ax3

6r

= à la folidité de cette même p artie APMN

& lorfque xr, alors cette derniere expreffion fera ar2—