TRAITÉ DES COURBES. DU CALCUL DES PUISSANCES Par leurs Expofans. VERTISSEMENT. Les deux Calculs suivans, ce◄ lui des Puissances par leurs Expofans, & celui des Radicaux, font indifpenfables pour ceux qui veulent connoître la haute Géométrie des modernes, & très-commodes dans l'étude de celle des anciens. Néanmoins les commençans pourront abfolument s'en passer ici ; la plus grande partie de cet Ouvrage pouvant être entendue fans un pareil fecours. 1. On enseigne dans ce chapitre ce que l'on doit faire touchant les Expofans des Puiffances, foumifes aux opérations du calcul. L'Expofant d'une grandeur est une quantité quelconque, par laquelle on a coutume d'exprimer combien de fois cette grandeur devroit être écrite, fi l'on n'employoit pas un pareil figne. Ainfi, quand cet Expofant eft un Entier, il indique toujours une multiplication. L'on ne fçauroit donc augmenter un Expofant, fans multiplier la grandeur à laquelle il appartient; & par conféquent le diminuer, fans divifer cette même grandeur. Et, comme l'élévation A à des Puiffances & l'extraction des Racines, ne fe font que par des multiplications & des divifions, il s'enfuit que l'on ne peut agir fur des Expofans, que quand on propofe d'en multiplier les Puiffances, de les divifer, de les élever à d'autres Puiffances, ou enfin d'en extraire les Racines. 2. REMARQUE. Toute grandeur, qui ne paroît élevée à aucune Puiffance, eft toujours cenfée avoir l'unité Expofant; ainfi bb' ; cd—c1 d'; a+b=a+b. pour 3. Pour multiplier les Puiffances d'une même Racine, lefquelles ont pour Expofans des nombres entiers, on écrira une feule fois cette Racine, & on lui donnera pour Expofant la fomme des Expofans des Puissances qui fe multiplient. Ainli y2 × y^ — y2+ + — yб; car y2=yy, & yyyyy; donc j2xy*=yy ×yyyyy; par conféquent la Règle propofée eft très-évidente, & très-certaine : C'eft pourquoi, fi les Expofans font indéterminés, on en indiquera la fomme par le figne; c'eft-à-dire que y'x y = yrs. 4. D'où il fuit que, pour divifer des Puiffances femblables aux précédentes, il faut fouftraire l'Expofant de la Puiffance, qui fait la fonction de Divifeur, de l'Expofant de la Puiffance à divifer, & donner pour Expofant à la Racine le refte de cette fouftraction. Voulez-vous divifer c' par c3? Vous n'avez qu'à écrire c5-32, qui fera le Quotient cherché; puifque le Divifeur c3 multiplié par le Quotient c2=c3+2 (3) vidende c3. Donc, en général, c' divisé Par c le Di voit par-là que toute grandeur quelconque, élevée à nulle Puiffance, ou dont la Puiffance eft zéro, devient égale à l'unité. 6. Si l'on fuppofoit donc l'Expofant s=0, =0, on auroit (4). Ce qui démontre qu'une Puif fance peut avoir un Expofant négatif. Mais alors elle exprime une véritable Fraction, quoiqu'elle n'en ait pas la forme 7. Un Expofant pofitif peut donc être transformé en négatif, & réciproquement, fans que fa Puissance change I de valeur. Car 1°. -—=—=—=c~* (6). 2°. Je dis puifque = :c (6); donc cxc; par conféquent On employe ces Transformations, quand on veut reconnoître dans un Calcul, fi des grandeurs font semblables, quoiqu'elles ne le paroiffent pas. 9. Puifque les Puiffances peuvent avoir des Expofans négatifs (6), il eft à propos de voir comment elles fe multiplient ou fe divifent à cet égard. Il n'y a pas d'autres Règles à fuivre que celles des n°. 3. & 4. Ainfi, pour plier d2 par d-3, on écrira d→×d‐3 dxd-3d-2 = d − 2 — 3 ————d ~5 ( 3 ). Pa multi reillement d-xd-d--s. Car d-- I ainfi d-xd-————— -X (3)=d-r-s dr (6). Voulez-vous encore multiplier d' par d-5 ? Vous au rez d4xd5————4—5—=d-1; puifque d-5———. (6); donc ds 10. De même, en fuivant la Règle établie & démontrée n°. 4. on divifera avec une extrême facilité les Puiffances, dont les Expofans feront négatifs, foit au Dividende, foit au Divifeur. Pour divifer donc d- par d-3, on écri ra. d-s d-3 2 -=d5+3=d2, qui fera le Quotient cherché. De forte que les Expofans étant indéterminés ; c'est-à-dire, ayant par éxemple d‐” à divifer par d3, on écrira d d-rts d-r = pour le Quotient de cette Divifion; puifque ce Quotient d, multiplié par le Divifeur ds,ds le Dividende d. On trouvera encore que dr divifé par d-s dr =dres; car drsxd-s=dress (9) =d'. Et, fi l'on divifoit de par d', on auroit au Quotient d-r-s; puifque dxd'———_d_sr+s—d~". 11. Moyennant le Calcul des Puiffances par leurs Expofans, on peut délivrer du figne radical V une gran deur qui en feroit affectée. Mais il eft néceffaire de voir auparavant, & d'être convaincu par une bonne démonftration que, pour élever une Puiffance quelconque ys à un degré quelconque, dont l'Exposant r ou dont l'Expofant r our eft pofitif ou négatif, il faut multiplier l'Expofant s de la Puiffance proposée par l'Expofant donné r ́our; & faire que ce produit devienne l'Expofant de cette même Puissance. Ainfi y élevée à la Puiffance rys; & y' élevée à la Puiffancer", Ce que je démontre ainfi. رو I. y élevée à la Puiffance pofitive r, doit néceffairement devenir ys. Car en élevant y' à la Puiffance pofitive r, on la multiplie par elle-même autant de fois, moins une, qu'il y a d'unités dans r; c'est-à-dire que l'on écrit cette Puiffance autant de fois que la lettre r eft fuppofée contenir d'unités; de forte qu'elle devient y'xyxxy, &c. où y' se trouve écrite autant de fois que l'on fuppofe d'unités dans r; mais y'x'x'xy3, &c. =ys+s+ ',~`(3), dans laquelle expreffion l'Expofant s doit fe trouver écrit ou pris autant de fois que la lettre r contient d'unités; or, pour prendre s autant de fois que r contient d'unités, il faut multiplier s par r; donc, en ce cas, ys+s+s+s, &c.—yrs. Et vous vous convaincrez en particulier de la vérité de cette afsertion, en élevant la grandeur a3 à la quatrième ou à toute autre Puiffance déterminée; puisqu'alors il faut écrire a3×a3×a3×a3=a3+3+3+3—a12 ou a34, ainfi que la Règle générale le prefcrit. II. y élevée à la Puiffance négative-r est —y". On doit fe rappeller pour cela que yyyyy, &c. où la lettre y doit être écrite autant de fois que l'on fuppofe d'unités dans l'Expofants : ainfi en élevant y' ou fon égale yyyy, &c. à la Puiffancer, on doit écrire yyyy, &c.; ce qui fignifie que la grandeur propofée eft cenfée élevée à la Puif fancer. Mais yyyy, &c.————— ys I (6), & 1 élevée à la Puissance positive r; puisque yyyy › &c. —y'; or ——— élevé à la Puissance r -—- درو yrs 7 élevé à une Puissance quelconque donne toujours 1 ; & par I conféquent, , pour élever la fraction à la Puiffance po fitiver, il n'y a qu'à agir fimplement fur fon Dénomina teur, fuivant qu'il est prescrit à l'article premier, & elle |